Дано координати вершин трикутника А(-2; 0), В(2; 6), С(4; 2)
Знайти:
1) висоту ВD проведену на сторону АС
2) кут BAC
1. Рівняння висоти BD, опущеної з вершини B на сторону AC .
Висота BD опущена з вершини B на сторону AC, тобто з умови завдання відома одна координата точки В(2; 6) і напрямок - пряма перпендикулярна прямий AC.
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: k_1 = - \frac{1}{k_2} .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої сторони AC.
Рівняння сторони будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1.1)
Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони AC при відомих координатах вершини А(-2; 0), С(4; 2) AC \quad \frac{x + 2}{4 + 2} = \frac{y-0}{2-0} => \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
Відповідь: рівняння сторони AC : \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
Отримали k_ {AC} = \frac{1}{3} => k_ {BD} = - \frac{1}{AC} = -3 .
Знайдемо рівняння прямої BD, для цього скористаємося рівнянням прямої що проходить через задану точку В(2; 6) в заданому напрямку k_ {BD} = -3 y - y_0 = k(x - x_0) \quad (1.2)
отримаємо
y - 6 = - 3 (x - 2) => \quad y = -3x + 12
Відповідь: рівняння висоти BD: \quad y = -3x + 12
2. кут \angle BAC
Кут \angle BAC - кут між прямими BA і AC - \angle BAC = \beta будемо шукати за формулою tg \beta = | \frac{k_2-k_1}{1 + k_1k_2} | \quad (2)
k_1, k_2 - кутові коефіцієнти прямих BA і AC.
Кутовий коефіцієнт прямої AC дорівнює
k_ {AC} = \frac{1}{3} .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої BA. Рівняння прямої будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1)
Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони BA , при відомих координатах вершини А(-2; 0), В(2; 6) AC \quad \frac{x + 2}{2 + 2} = \frac{y-0}{6-0} => \quad y = \frac{3}{2}x + 3
Відповідь: рівняння сторони BA дорівнює: \quad y = \frac {3} {2} x + 3
Кутовий коефіцієнт прямої k_ {BA} = \frac{3}{2} , підставляємо в (2) tg \alpha = | \frac {\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} {1- \frac{3}{2} \frac{1}{3} } | = \frac{7}{3} => \quad \alpha \approx 66.8 ^ 0
Відповідь : кут \angle BAC між прямими BA і AC дорівнює \angle \alpha \approx 66.8 ^ 0
