Решение: разложим в ряд Фурье функцию $$ f(x) = \begin{cases}0 & -\pi \leq x < 0\\4-9x & 0 \leq x \leq\pi \end{cases} $$
Функция f(x) , которая задана на отрезке \([-\pi;\pi]\), удовлетворяет условию Дирихле, так как в каждой точке промежутка \([-\pi;0)\) и \([0;\pi]\) она непрерывна и имеет одну точку разрыва 1-го рода x=0 можно разложить в ряд Фурье $$f(x) = \frac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+b_1\sin(x)+a_2\cos(2x)+b_2\sin(2x)+ ... + a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)+ ... = $$$$ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$$ называется тригонометрическим рядом.
Коэффициенты \(a_0,a_n,b_n\) ряда для \(2\pi\) периодической функции f(x) рассчитываются по формулам $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$$$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$$ эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье, а ряд $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$$ называется рядом Фурье.
Раскладываем в ряд Фурье функцию \(f(x) = \begin{cases}0 & -\pi \leq x < 0\\4-9x & 0 \leq x \leq\pi \end{cases}\)
На отрезке \([-\pi;\pi]\) функция f(x) задана разными аналитическими выражениями, поэтому, учитывая свойство определенного интеграла, запишем сумму двух соответствующих интегралов и вычислим их $$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}0dx + \int_{0}^{\pi}(4-9x)dx] = $$$$ = \frac{1}{\pi}[ 4x-\frac{9}{2}x^2]|_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi}\pi[ 4-\frac{9}{2}\pi] = 4-\frac{9}{2}\pi$$
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}0\cos(nx)dx + \int_{0}^{\pi}(4-9x)\cos(nx)dx] = $$$$ = \frac{1}{\pi}[ \frac{4}{n}\sin(nx)-\frac{9 (\cos(n x)+nx\sin(n x))}{n^2}]|_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}[ \frac{4n\sin(nx) -9 (\cos(n x)+nx\sin(n x))}{n^2}]|_{0}^{\pi}= $$$$ = \frac{1}{\pi}[ \frac{4n\sin(n\pi) -9 (\cos(n \pi)+n\pi\sin(n\pi))}{n^2} - \frac{4n\sin(n*0) -9 (\cos(n*0)+n*0\sin(n*0))}{n^2}]= $$$$ = \frac{1}{\pi}[ \frac{0 -9 (\cos(n \pi)+0)}{n^2} + \frac{9}{n^2}]= $$$$ = \frac{9}{\pi}\frac{1 -\cos(n\pi)}{n^2}=\begin{cases}0 & при & n = 2k\\ \frac{18}{\pi n^2} & при & n=2k-1\end{cases}, где \quad k=1,2,3... $$ из системы уравнений получим несколько коэффициентов $$a_1= \frac{18}{\pi}; \quad a_2= 0; \quad a_3= \frac{2}{\pi};\quad a_4= 0$$
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}0\sin(nx)dx + \int_{0}^{\pi}(4-9x)\sin(nx)dx] = $$$$ = \frac{1}{\pi}[ -\frac{4\cos(nx)}{n}-\frac{9\sin(nx)}{n^2}+\frac{9x\cos(nx)}{n}]|_{0}^{\pi} = $$$$= \frac{1}{ \pi}[ -\frac{4\cos(n \pi)}{n}-\frac{9\sin(n \pi)}{n^2}+\frac{9 \pi\cos(n \pi)}{n} + \frac{4\cos(n*0)}{n} + \frac{9\sin(n \pi)}{n^2} - \frac{9*0\cos(n*0)}{n}] = $$$$= \frac{1}{ \pi}[ -\frac{4\cos(n \pi)}{n}-0+\frac{9 \pi\cos(n \pi)}{n} + \frac{4}{n} + 0 - 0] = \frac{1}{ \pi}[ -\frac{4\cos(n \pi)}{n}+\frac{9 \pi\cos(n \pi)}{n} + \frac{4}{n}] = $$$$ = \begin{cases} \frac{9}{n} & при & n = 2k\\ \frac{8-9 \pi}{\pi n} & при & n=2k-1\end{cases}, где \quad k=1,2,3... $$
$$b_1=\frac{8-9 \pi}{\pi}; \quad b_2= \frac{9}{2}; \quad b_3= \frac{8-9 \pi}{3 \pi};\quad b_4= \frac{9}{4} $$
Запишем ряд Фурье для заданной функции $$f(x) = 2-\frac{9}{4}\pi+\frac{18}{\pi}\cos(x)+\frac{8-9 \pi}{\pi}\sin(x)+\frac{9}{2}\sin(2x)+ ... = $$$$ = 2-\frac{9}{4}\pi+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{18}{\pi n^2}\cos((2k-1)x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{2k}\sin(2kx)+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{8-9 \pi}{\pi (2k-1)}\sin((2k-1)x)$$
