\begin{cases}\log_{4-x}(x^2-4x+27)\leq2\log_{4-x}5\\\frac{x^2-4x+1}{x-4}\leq\frac{x+1}{2}\end{cases}

Для решения неравенства применим Метод рационализации при решении логарифмических неравенств. Решаем систему уравнений $$\begin{cases}\log_{4-x} (x^2-4x+27) \leq  2\log_{4-x}5 \\ \frac{x^2-4x+1}{x-4} \leq \frac{x+1}{2}\end{cases}$$Запишем ОДЗ для логарифма и дроби $$ \begin{cases}4 - x >0 \\ 4 - x \ne 1 \\ x^2-4x+27 >0 \\ x \ne 4 \end{cases} =>   \begin{cases}4  > x \\  x \ne 3 \\ x \in R \\ x \ne 4 \end{cases} => x \in (-\infty;3) \cup (3;4)$$ допишем в систему уравнений условия ОДЗ логарифма и дроби. Применим метод рационализации и запишем основное неравенство \((a(x)-1)(f(x)-g(x))\) для неравенства \(\log_{4-x} (x^2-4x+27) \leq  2\log_{4-x}5 => \log_{4-x} (x^2-4x+27) \leq  \log_{4-x}5^2\),получим \((4-x-1)*(5^2-(x^2-4x+27)) \geq 0\). Подставим полученные результаты в систему неравенств $$\begin{cases}\log_{4-x} (x^2-4x+27) \leq  2\log_{4-x}5 \\ \frac{x^2-4x+1}{x-4} \leq \frac{x+1}{2}\end{cases} => \begin{cases} (4-x-1)*(5^2-(x^2-4x+27)) \geq 0 \\ \frac{x^2-4x+1}{x-4} - \frac{x+1}{2} \leq  0 \\ x \in (-\infty;3) \cup (3;4) \end{cases}$$$$\begin{cases} (3-x)*(5^2-x^2+4x - 27) \geq 0 \\ \frac{2(x^2-4x+1)-(x+1)(x-4)}{2(x-4)} \leq  0 \\ x \in (-\infty;3) \cup (3;4) \end{cases} => \begin{cases} (x-3)*(x^2-4x + 2) \geq 0 \\ (2x^2-8x+2-x^2+3x+4)(x-4) \leq  0 \\ x \in (-\infty;3) \cup (3;4) \end{cases} =>$$$$\begin{cases} (x-3)(x-(2+\sqrt 2))(x-(2-\sqrt 2)) \geq 0 \\ (x-2)(x-3)(x-4) \leq  0 \\ x \in (-\infty;3) \cup (3;4) \end{cases} =>\begin{cases} x \in [2-\sqrt 2;3] \cup [2+\sqrt 2; +\infty) \\ x \in (-\infty ;2] \cup [3;4] \\ x \in (-\infty;3) \cup (3;4) \end{cases} =>$$$$ x \in [2-\sqrt 2;2] \cup [2+\sqrt 2;4)$$Ответ: \(x \in [2-\sqrt 2;2] \cup [2+\sqrt 2;4)\)