Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y = x^2+1\) и \( x+y = 3\)
Построим кривые:
1. \( y = x^2 +1 \) - уравнение параболы, проходящей через точку с координатами (0;1) с осями направленными вверх.
2. \( x+y = 3 = > y =3 - x \) - уравнение прямой.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABE\)
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \(y_2 = 3 - x; \quad y_1 = x^2 +1 \), тогда искомая площадь фигуры \(ABE\) равна $$S_{ABE} = \int_D^C( 3 - x - x^2 - 1)dx = \int_D^C( 2 - x - x^2)dx$$ для нахождения интеграла нужно найти координаты x точек D и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} y = x^2 +1\\ y = 3 - x \end{cases} => \begin{cases} x_1 = -2; x_2 = 1\\ y = 3 - x \end{cases} $$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{BCE} = \int_{-2}^{ 1}( 2 - x - x^2 )dx =$$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = ( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_{-2}^{1} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 4.5$$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(y = x^2 + \) и \( x+y = 3 \) равна \(S_{ABE} = 4.5 \)
