Исследовать функцию $$y=(x^2-2x-2)e^x$$ и посторить схематично ее график.

Исследуем функцию $у = (x^2-2x-2)e^x$ и построим ее график. 

1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ $x \in R$.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =  ((-x)^2-2(-х)-2)e^{-х}$ функция является нечетной и ни нечетной, т.е. функция симметрий не имеет.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $(x^2-2х-2)e^х = 0 => x_1 = 1 -\sqrt{3}; x_2 =1 +\sqrt{3}$ , т.е кривая пересекает ось Ox в точках с координатами $( 1 - \sqrt{3} ;0);( 1 + \sqrt{3} ;0)$

точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять $x=0$, $y = (x^2-2х-2)e^х=> y =-2$, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;-2)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили точки пересечения с осью Ox с координатами $( 1 - \sqrt{3} ;0);( 1 + \sqrt{3} ;0)$, они разделили ось на три интервала знакопостоянства функции. Рассматриваем интервал знакопостоянства на исследуемых интервалах
интервал $(-\infty; 1 - \sqrt{3})$ найдем значение функции в любой точке $f(-1) = (x^2-2х-2)e^х   > 0$, т.е. на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox
интервал $( 1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})$ найдем значение функции в любой точке $f(0) =  (x^2-2х-2)e^х  < 0$, т.е. на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. функция находится ниже оси Ox 
интервал $( 1 + \sqrt{3}; +\infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(3) =  (x^2-2х-2)e^х  > 0$, т.е. на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox 

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( (x^2-2х-2)e^х)' =  e^x (x^2-4)$$ приравняем к 0 $$e^x (x^2-4) = 0 =>  x_{1,2} = \pm 2$$ функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал $(-\infty; -2)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(-3) = e^x (x^2-4)  >  0$, т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал $(-2; 2)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(0) = e^x (x^2-4)  <  0$, т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал $(2;+\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(3) = e^x (x^2-4)  >  0$, т.е. на этом интервале функция возрастает. 

Экстремумы функции.
При исследовании получили на исследуемом интервале две критические (стационарные) точки , определим, является ли они экстремумами. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критические точки
точка $x= -2$ производная меняет знак с $\quad + \quad 0 \quad - \quad$ - точка максимума. Координаты точки максимума $f(-2) \approx 0.81$, получаем координаты (-2;0.81)
точка $x= 2$ производная меняет знак с $\quad - \quad 0 \quad + \quad$ - точка минимума. Координаты точки минимума $f(2) \approx -14.78$, получаем координаты (2; -14.78)

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^x (x^2-4))' = e^x (x^2+2x-4)$$ Приравняем к нулю $$e^x(x^2+2x-4) = 0 => x_{1,2} =- 1 \pm \sqrt{5}$$  
Для анализа этих точек рассмотрим три интервала выпуклости
интервал $(-\infty; - 1 - \sqrt{5})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(-5) = e^x(x^2+2x-4)  > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал $(- 1 - \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0) = e^x(x^2+2x-4) < 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная  $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $( - 1 + \sqrt{5};+\infty)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(5) = e^x(x^2+2x-4)  > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Точки перегиба.

В точке $x =  -1 - \sqrt{5}$ вторая производная меняет знак с  $\quad + \quad 0 \quad - \quad$, график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами $( -3.23;0.59)$.
В точке $x = -1 + \sqrt{5}$ вторая производная меняет знак с  $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами $( 1.24; -10.13)$.

7. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ $x \in R$
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $y =  (x^2-2x-2)e^x$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}\frac{ (x^2-2x-2)e^x}{x} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен $\infty$, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} (x^2-2x-2)e^x = \infty$$ Получили, что график функции горизонтальную асимптоту не имеет.

8. Построить график функции.