C1 решить уравнение $\sin x + \sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2}$

Решим уравнение

$$\sin x+\sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2} =>$$ данное уравнение на знание формулы косинуса двойного угла $\cos {2x} = \cos^2 x - \sin^2 x$, подставим формулу в уравнение и получим $$\sin x = \cos^2\frac{x}{2} -\sin^2\frac{x}{2} => \sin x = \cos x =>$$ $$\sin x - \cos x =0 => \cos x * (\mbox{tg}x -1) =0 =>$$ $\cos x \ne 0$, т.к. при $\cos x =0 => \sin x = 1$, а по условию разность синуса и косинуса равна 0 $$\mbox{tg}x -1=0 => \mbox{tg}x =1 =>$$ $$x = \frac{1}{4}\pi + \pi n, n \in Z$$ Ответ: $x \in \frac{1}{4}\pi + \pi n, n \in Z$

Найдем корни удовлетворяющие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.
рассмотрим единичную окружность

зеленым обозначен заданный отрезок, выбираем углы из ответа, удовлетворяющие заданному отрезку, это будут $\frac{1}{4}\pi - \pi = -\frac{3}{4}\pi$ и $\frac{1}{4}\pi - 2\pi = -\frac{7}{4}\pi$.

Ответ: корни, удовлетворяющие заданному отрезку равны $-\frac{3}{4}\pi ; -\frac{7}{4}\pi$