Решаем уравнение $$2\sin^2(\frac{3}{2}\pi-x)=\cos x$$ для начала применим формулу приведения \(\sin(\frac{3}{2}\pi-x) = -\cos x \), получим $$2(-\cos x)^2 = \cos x => 2(\cos x)^2 -\cos x = 0 =>$$$$\cos x *(2\cos x -1) = 0 => \left[ \begin{gathered}\cos x = 0\\2\cos x -1 = 0\end{gathered}\right. =>$$$$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \\ \cos x = \frac{1}{2}\end{gathered}\right. =>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\end{gathered}\right. $$По условия задания необходимо найти корни принадлежащие промежутку \([-\frac{3}{2}\pi ;0]\). Данный вопрос легче решать графическим методом с применением единичной окружности. Нарисуем единичную окружность и нанесем на нее найденные корни уравнения для \(n < 0\), т.к. промежуток отрицательных углов. На рисунке промежуток отмечен зеленым цветом. Наносим корни \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, => x = - \frac{\pi}{2},\) при \( n=-1 \) и \( x= - \frac{3\pi}{2} \), при \( n=-2\) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, => x = - \frac{\pi}{3}\) при \( n=0\)
Ответ: \(x = - \frac{\pi}{2}; - \frac{3\pi}{2}; - \frac{\pi}{3} \)
