Исследуем функцию \(y = x*e^{-2x^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -(x)*e^{-2(-x)^2} = -x*e^{-2x^2}\) функция является нечетной, т.е. она симметрична относительно начала координат, поэтому далее будем исследовать функцию на интервале \( [0; +\infty) \), график функции на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса графика, полученного на интервале \([0; +\infty) \) относительно начала координат O(0;0).
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( x*e^{-2x^2} = 0 => x = 0\) , т.е кривая пересекает ось Ox в точке с координатами (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y = x*e^{-2x^2}=> y =0\), точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили точку пересечения с осью Ox с координатами (0;0), она разделила ось на два интервала знакопостоянства функции. Рассматриваем интервал знакопостоянства на исследуемом интервале \( [0; +\infty) \)
Определим знак функции на этом интервале
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = 2*e^{-2*2^2} > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( x*e^{-2x^2})' = e^{-2x^2} + x*e^{-2x^2}*(-4x) = $$$$ = e^{-2x^2}(1 - 4x^2)$$ приравняем к 0 $$ e^{-2x^2}(1 - 4x^2) = 0 => 1 - 4x^2 = 0 => x = \pm \frac{1}{2}$$ функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Точка \(x = \frac{1}{2}\) лежит на рассматриваемом интервале и делит интервал на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((0; \frac{1}{2})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(\frac{1}{4}) = e^{-2x^2}(1 - 4x^2) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((\frac{1}{2}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = e^{-2x^2}(1 - 4x^2) < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили на исследуемом интервале одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка \(x=\frac{1}{2}\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - точка максимума. Координаты точки максимума \(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{e}} \approx 0.3\) => \((\frac{1}{2}; 0.3)\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{-2x^2}(1 - 4x^2))' = -4xe^{-2x^2}(1 - 4x^2) - 8x*e^{-2x^2} = $$$$= -4x*e^{-2x^2} +16x^3e^{-2x^2} - 8x*e^{-2x^2} = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3)$$ Приравняем к нулю $$ 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) = 0 => x(4x^2 - 3) = 0 => x_{1} =0; \quad x_{2,3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Две точки \(x = 0; \quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) попадают в рассматриваемый интервал.
Для анализа этих точек рассмотрим три интервала выпуклости
интервал \((-\frac{\sqrt{3}}{2};0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-0.5) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; \frac{\sqrt{3}}{2})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.5) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке \(x = 0\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами \((0;0)\).
В точке \(x =\frac{\sqrt{3}}{2}\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба \(f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 0.19\).
Координаты точки перегиба \((0.87; 0.19)\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ \(x \in R\)
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = x*e^{-2x^2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x*e^{-2x^2}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} x*e^{-2x^2} = 0$$Получили, что график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0.
8. Построить график функции.
