Решение: найдем объем фигуры, ограниченная кривыми \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) и \(x= 4\) вокруг оси Ox.
где \(x=4\) - прямая параллельная оси Oy
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) - гипербола, действительная ось которой - ось Ox, а мнимая - ось Oy.
Строим рисунок:
Если тело получено путем вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой \(y = f(x)\) (при этом \( f(x) \geq 0\)), осью абсцисс и прямыми \(x = a \) и \(x = b\) вокруг оси \(Ox\), объем рассчитывается по формуле $$V_x = \pi \int_a^by^2dx \quad (1)$$
В задании фигура ограничена функцией $$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1; \quad y = 2\sqrt{\frac{x^2}{9}-1} \geq 0$$ Из рисунка следует что будем искать объем фигуры, образованной гиперболой, расположенной в первой четверти и прямой \(x=4\), тогда границы \(a;b\)
1. точка пересечения гиперболы с осью Ox
найдем точку пересечения гиперболы \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) с осью Ox, т.е. при \(y=0\), получаем \(x = 3\)
2. прямая \(x=4\)
получили границы \([3;4]\)
Подставляем данные в формулу (1), получаем $$V_x = \pi \int_3^42(\sqrt{\frac{x^2}{9}-1})^2dx = \frac{2}{9}\pi \int_3^4(x^2-9)dx =$$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{2}{9}\pi ( \frac{x^3}{3} - 9x)|_3^4 = \frac{2}{9}\pi ( \frac{4^3}{3} - 9*4 - \frac{3^3}{3} + 9*3 ) = \frac{20}{27}\pi$$
Ответ: объем тела, полученного путем вращения криволинейной трапеции равен \( V_x = \frac{20}{27}\pi\)
