Решение:
Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными кривыми применим определенный интеграл и его геометрический смысл..
Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если функция \(f(x) \geq 0\) на отрезке \([a;b], a < b\), то определенный интеграл \(\int_a^bf(x)dx \quad\) равен площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями:
сверху \(y = f(x)\)
справа, слева \(x=a; x=b\)
снизу \(y=0\)
Согласно условия задачи, фигура ограниченная линиями \(y=3-x^2-2x,y=0\). Для применения определенного интеграла необходимо найти еще левую и правую точки пересечения кривой (параболы) с осью Ox, точками пересечения с осью являются корни уравнения \(3-x^2-2x = 0 => x_1=-3;x_2=1\). Теперь для нахождения площади фигуры применим определенный интеграл, применим формулу (1), получим $$S = \int_{-3}^1(3-x^2-2x)dx = $$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = 3x - \frac{1}{3}x^3 - x^2 |_{-3}^1 = $$$$ = 3 - \frac{1}{3} - 1 - 3(-3) - \frac{1}{3}(-3)^3 - (-3)^2 = 10\frac{2}{3}$$
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна \(S = 10\frac{2}{3}\)
