Решение:
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность распределения вероятности)
В точках дифференцируемости функции распределения F(x) ее производная равна плотности распределения f(x) = F(x)
f(x) = (0)' = 0;\quad f(x) = (\frac{x+1}{2})' = \frac{1}{2}; \quad f(x) = (1)' = 0
получили плотность распределения
f(x) \begin{cases}0, \text{при x} \leq-1\\\frac{1}{2}, \text{при -1} < x\leq1\\0, \text{ при x} > 1\end{cases}
б) вероятность попадания случайной величины в интервал (0;3) Вероятность попадания значений случайной величины X в интервале (a;b) равна определенному интегралу по плотности распределения f(x) по отрезку [a;b], т.е. P(a < X < b) = \int_a^b f(x)dx
Применяем формулу
P(0 < X < 3) = \int_0^3 f(x)dx = \int_0^1 \frac{x+1}{2}dx + \int_1^3 0dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}x^2+x)|_0^1 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}1^2+1) = \frac{3}{4}
Ответ: вероятность попадания случайной величины в интервал (0,3) равна
P(0 < X < 3) = \frac{3}{4}
в) математическое ожидание и дисперсию
Математическое ожидание
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку [a;b], а f(x) - ее плотность распределения вероятностей, определяется формулой M(X) = \int_a^b xf(x)dx
Найдем математической ожидание M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx = \int_{-\infty}^{-1} x*0dx + \int_{-1}^1 x \frac{1}{2}dx + \int_{1}^{\infty} x 0dx = \frac{1}{4}x^2|_{-1}^1 = 0
Ответ: математической ожидание равно
M(X) = 0
Дисперсия
Дисперсией, или рассеиванием, случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения D(X) = M(X-M(x))^2, для расчета используется формула D(X) = M(X^2)-(M(X))^2
Дисперсия непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку [a;b], определяется формулой D(X) = \int_a^b(x-M(X))^2f(x)dx, для расчета используется формула D(X) = \int_a^bx^2f(x)dx -M(X)^2
Находим дисперсию D(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx -M(X)^2 = \int_{-1}^1x^2\frac{1}{2}dx -0 =
= \frac{1}{2}\frac{1}{3}x^3|_{-1}^1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}
Ответ: дисперсия равна
D(X) = \frac{1}{3}
г) построить графики F(x),f(x)
