Задача: 90% деталей, изготовленных заводом № 1, соответствуют стандарту. Для заводов № 2 и №3 этот показатель соответственно равен – 86% и 99%. На склад поступило 150 деталей завода №1, 160 деталей завода №2, и 40 деталей завода №3. Наугад берут деталь. Найти вероятность того, что она стандартная.
Решение: введем обозначения:
событие \(A\) - случайно выбранная деталь стандартная.
гипотеза \(H_1\) - деталь произведена первым заводом,
вероятность того, что деталь произведена на заводе № 1 будем находить по формуле классического определения вероятности \(p=\frac{m}{n}\), где
\(n\) - число всех равновозможных исходов (общее число всех деталей) \(n = 150+160+40=350\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), \(m = 150\),
тогда вероятность \(P(H_1) = \frac{150}{350} = \frac{15}{35}\)
гипотеза \(H_2\) - деталь произведена вторым заводом \(P(H_2)= \frac{160}{350} =\frac{16}{35}\)
гипотеза \(H_3\) - деталь произведена третьим заводом \(P(H_3)=\frac{40}{350} = \frac{4}{35}\)
Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны (согласно условия задачи):
деталь стандартная при условии того, что она произведена на заводе № 1 \(P(A|H_1) = 0.90\)
деталь стандартная при условии того, что она произведена на заводе № 2 \(P(A|H_2) = 0.86\)
деталь стандартная при условии того, что она произведена на заводе № 3 \(P(A|H_3) = 0.99\)
Найдем вероятность того, что выбранная деталь стандартная \(P(A)\),
применим формулу полной вероятности:
Вероятность события \(A\), которое может произойти вместе с одной из гипотез \(H_1,H_2,...,H_n\), равна сумме парных произведений вероятностей каждой из гипотез на отвечающие им условные вероятности \(P(A) = \sum_{i=1}^n P(H_i)P(A/H_i)\)
Подставляем данные в формулу полной вероятности, получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) + P(H_3)P(A/H_3) = $$$$ = \frac{15}{35}*0.90+\frac{16}{35}*0.86 + \frac{4}{35}*0.99 = 0.892$$
Ответ: вероятность того, что деталь стандартная \(P(A) = 0.892\)
