Решение: определим взаимное расположение прямых \( l_1: \quad 3x-4y+1=0\) и \( l_2: \quad -2x-7y+4=0\).
Прямые могут быть коллинеарными или пересекающимися
1. Проверяем прямые на коллинеарность
Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают
Прямые \(l_1: \quad A_1x+B_1y+C_1=0 \) и \(l_2: \quad A_2x+B_2y+C_2=0\) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число \( \lambda \ne 0\) , что \(A_1 = \lambda A_2\), \(B_1 = \lambda B_2\) , но \( C_1 \ne \lambda C_2\).
По другому это условие можно записать $$l_1||l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $$
Прямые \(l_1, l_2\) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: \(A_1 = \lambda A_2\), \(B_1 = \lambda B_2\) , \( C_1 = \lambda C_2\).
По другому это условие можно записать $$ l_1≡ l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$
Проверяем на коллинеарность прямые \( l_1: \quad 3x-4y+1=0\) и \( l_2: \quad -2x-7y+4=0\). $$ \frac{3}{-2} \ne \frac{-4}{-7} \ne \frac{1}{4} $$
Вывод: прямые не являются коллинеарными.
2. Пересекающиеся прямые
Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых \(l_1;l_2\) является условие не коллинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных: \( \frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}\)
Проверяем на коллинеарность прямые \( l_1: \quad 3x-4y+1=0\) и \( l_2: \quad -2x-7y+4=0\). $$ \frac{3}{-2} \ne \frac{-4}{-7} \ne \frac{1}{4} $$
Вывод: прямые являются пересекающимися.
