Задание: Для подачи сигнала об аварии установлены три устройства, которые работают отдельно. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе - 0,95, третее - 0,85.
Определить вероятность того, что при аварии сработают: 1) именно два устройства, если известно, что хотя бы один из устройств сработало.
Найдем вероятность того, что сработало 2 устройства
Решение: введем следующие обозначения:
событие \(A_1\) - при аварии сработало первое устройство, а событие \(\overline{A_1}\) - не сработало, тогда \(P(A_1) = 0.9\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.1\)
событие \(A_2\) - при аварии сработало второе устройство, а событие \(\overline{A_2}\) - не сработало, тогда \(P(A_2) = 0.95\), а \(P(\overline{A_2}) = 0.05\)
событие \(A_3\) - при аварии сработало третье устройство, а событие \(\overline{A_3}\) - не сработало, тогда \(P(A_3) = 0.85\), а \(P(\overline{A_3}) = 0.15\)
событие \(A\) - при аварии сработало два устройства, тогда $$A = \overline{A_1}A_2A_3+A_1\overline{A_2}A_3+A_1A_2 \overline{A_3}$$ Поскольку слагаемые в правой части равенства несовместны, то применим
теорему сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\),
получаем $$P(A) = P(\overline{A_1}A_2A_3+A_1 \overline{A_2}A_3+A_1A_2 \overline{A_3})= P(\overline{A_1}A_2A_3)+P( A_1 \overline{A_2}A_3) + P(A_1A_2 \overline{A_3})= $$
Применим теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
получаем $$ =P(\overline{A_1})P(A_2)P(A_3)+P( A_1)P(\overline{A_2})P(A_3) + P(A_1)P(A_2)P(\overline{A_3}) =$$ подставляем значения вероятностей $$ = 0.1*0.95*0.85 + 0.9*0.05*0.85+0.9*0.95*0.15 = 0.25$$
Ответ: вероятность того, что при аварии сработает два устройства равна \(P(A) = 0.25\)
