Решение: всего носков 6+10=16, найдем число всех равновозможных случаев распределения 16 носков по 2. Это число равно числу сочетаний \(C_{16}^{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!(14)!} = \frac{15*16}{1*2} = 120\).
Найдем общее число равновозможных случаев, когда Антон одевает два одинаковых носка. Это число можно найти исходя из следующих рассуждений:
мы уже нашли, что число способов выборки из 16 носков по 2 равно 120. В это число входит и выборка двух разных носков. Посчитаем это число. Мы выбираем два носка: один черный, таких способов 10, а второй в зеленую полоску - 6 способов.
Применим правило произведения: если объект А можно выбрать из множество объектов \(m\) способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать \(n\) способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана \(m*n\) способами.
На основании указанного правила, получаем, что пара разных носков может быть выбрана \(10*6=60\) способами, тогда пару одинаковых носков можно выбрать 120-60=60 способами.
Вероятность будем искать по формуле классического определения вероятности \(P=\frac{m}{n}\), где
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), в нашем случае - число способов выборки двух одинаковых носков \(m = 60\)
\(n\) - число всех равновозможных элементарных исходов, в нашем случае - число способов выборки из 16 носков по 2 носка \(n =120\)
Искомая вероятность равна $$P = \frac{m}{n} = \frac{60}{120} = 0.5$$
Число \(m\) - число способов выборки двух одинаковых носков можно было найти другим способом - применив правило суммы
Правило суммы: если объект А можно выбрать из множества объектов \(m\) способами, а другой объект В может быть выбран \(n\) способами, то выбрать либо объект А либо В можно \(m+n\) способами.
В нашем случае:
носки черного цвета из 10 по 2 можно выбрать \(C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{9*10}{1*2} = 45\) способами,
носки в зеленую полоску из 6 по 2 можно выбрать \(C_{6}^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{5*6}{1*2} = 15\) способами,
Тогда число способов выбора двух одинаковых носков либо черных, либо в зеленую полоску равно 45+15=60, т.е. получили число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(m=60\)
Ответ: вероятность того, что Антон одел одинаковые равна \(P = 0.5\)
