3) Уравнение прямой, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости ABC. Найти точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC.
Уравнение плоскости ABC было найдено в п.1 3y+4z-16 = 0, рассмотрим его.
Вспомним общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D = 0, где вектор \vec{N} = (A;B;C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты \vec{N} = (0;3;4)
Вспомним каноническое уравнение прямой \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) , где
координаты (x_0;y_0;z_0) - координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор \vec{s} = (m;n;p) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Т.к. искомая прямая перпендикулярна плоскости, то вектора \vec{N} = \vec{s}
Подставляем результат в уравнение прямой \frac{x-0}{0}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4} => \frac{x}{0}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}
Найдем точку пересечения прямой и плоскости, составим систему уравнений: \begin{cases}3y+4z-16 = 0\\ \frac{y}{3}=\frac{z}{4} \\ x=0 \end{cases} => \begin{cases}\frac{9}{4}z+4z=16\\ y=\frac{3}{4}z \\ x=0 \end{cases} => \begin{cases}z=\frac{64}{25}\\ y=\frac{48}{25} \\ x=0 \end{cases}
Ответ: уравнение ребра AO: \frac{x}{0} = \frac{y}{3}=\frac{z}{4} , полученное уравнение можно записать в виде \frac{y}{3}=\frac{z}{4}, \quad x=0, получили уравнение прямой в пространстве, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси Ox, т.к. координата направляющего вектора m=0
Координаты точки пересечения прямой AO и плоскости ABC - (0;\frac{48}{25};\frac{64}{25})