Решим систему уравнений \begin{cases} 5x+y-3z=-2 \\ 4x+3y+2z=16 \\ 2x-3y+z=17\end{cases}
Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы A = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right) справа столбец свободных членов, получаем : (A|b) = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -2\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система Ax=b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы rg(A|b)=rgA
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы (A|b) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. (A|b) = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -2\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right)
Берем в качестве ведущего элемента a_{11} = 5 \ne 0. Для упрощения расчетов элемент a_{11} приведем к 1. Это можно сделать путем вынесения числа 5 из первой строки, но при этом нам придется вести расчеты с дробными числами а можно путем вычитания строки 2 из строки 1.
Из первой строки вычитаем вторую строку.
(A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на 4
\left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 11 & 22 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 88 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim
Аналогично из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 2, получим:
\left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 11 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 53 \end{array}\right.\right) \sim
Берем в качестве ведущего элемента a_{22} = 1 \ne 0.
Из третьей строки вычитаем вторую строку
\left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 9 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 45 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 5 \end{array}\right.\right)
3. Определим ранг матрицы
rgA = rg(A|b) = 3 Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу (\widetilde{A}|\widetilde{b}) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента a_{33} = 1 \ne 0.
Из второй строки вычитаем третью строку, умноженную на 2
\left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim
Складываем первую строку и третью строку, умноженную на 5
\left(\begin{array}{c} 1& -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 7\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim
Складываем первую строку и вторую строку, умноженную на 2
\left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim
Привели матрицу к упрощенному виду.
Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \\ z = 5 \end{cases}