Решим систему уравнений $$ \begin{cases} 5x+y-3z=-2 \\ 4x+3y+2z=16 \\ 2x-3y+z=17\end{cases}$$
Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -2\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right)\)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 5& 1 & -3 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -2\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right) \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 5 \ne 0\). Для упрощения расчетов элемент \(a_{11}\) приведем к 1. Это можно сделать путем вынесения числа 5 из первой строки, но при этом нам придется вести расчеты с дробными числами а можно путем вычитания строки 2 из строки 1.
Из первой строки вычитаем вторую строку.
\((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 4 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 16 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim \)
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(4\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 11 & 22 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 88 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim \)\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 2 & -3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 17 \end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычитаем первую, умноженную на \(2\), получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 11 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 53 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = 1 \ne 0\).
Из третьей строки вычитаем вторую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 9 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 45 \end{array}\right.\right) \sim \) \( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ 8 \\ 5 \end{array}\right.\right) \)
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычитаем третью строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & -5 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -18\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim \)
Складываем первую строку и третью строку, умноженную на \(5\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 7\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim \)
Складываем первую строку и вторую строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3\\ -2 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim \)
Привели матрицу к упрощенному виду.
Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно \( \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \\ z = 5 \end{cases} \)
