Решение: найдем объем фигуры, ограниченная кривыми \(y=x^{3}\) и \(y= \sqrt{x}\) вокруг оси Ox.
Если тело получено путем вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой \(y_1 = f(x); y_2=g(x)\) (при этом \( 0 \leq f(x) \leq g(x)\)), осью абсцисс и прямыми \(x = a \) и \(x = b\) вокруг оси \(Ox\), объем рассчитывается по формуле $$V_x = \pi \int_a^b(y_2^2-y_1^2)dx \quad (1)$$
В задании фигура ограничена функцией $$ y_1 = x^3; \quad y_2 = \sqrt{x} $$ Границы \(a;b\) - точки пересечения кривых, найдем их, решив систему уравнений $$\begin{cases}y=\sqrt{x}\\y=x^3\end{cases} => \begin{cases}y=\sqrt{x}\\\sqrt{x}- x^3 =0\end{cases} => $$$$ \begin{cases}y=\sqrt{x}\\\sqrt{x}(1 - x^\frac{3}{2}) =0\end{cases} =>x_1=0; \quad x_2=1$$ Получили \(a=0; \quad b=1\)
Подставляем данные в формулу (1), получаем $$V_x = \pi \int_0^1((\sqrt{x})^2-(x^3)^2)dx = \pi \int_0^1(x - x^6)dx = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \pi ( \frac{x^2}{2} - \frac{x^7}{7})|_0^1 = \pi ( \frac{1^2}{2} - \frac{1^7}{7}) = $$$$ = \pi ( \frac{1}{2}- \frac{1}{7}) = \frac{5}{14}\pi$$
Ответ: объем тела, полученное путем вращения криволинейной трапеции равен \( V_x = \frac{5}{14}\pi\)
