Решение: в условии задания даны уравнения двух прямых.
Рассмотрим уравнения
\( \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{8}\) - каноническое уравнение прямой, где вектор \( \vec{s_1} = (1;2;8)\) - направляющий вектор (прямая параллельна этому вектору)
\( \frac{x+1}{4}=\frac{y-1}{0}=\frac{z+5}{2}\) - каноническое уравнение прямой, где вектор \(\vec{s_2} = (4;0;2)\) - направляющий вектор (прямая параллельна этому вектору)
Получили два направляющих вектора, которые параллельны искомой плоскости.
Согласно условия задачи, плоскость проходит через заданную точку. Рассмотрим формулу уравнения плоскости, проходящую через заданную точку $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0 \quad (1)$$ координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - известная точка,
координаты вектора \(\vec{N} = (A;B;C)\) - вектор нормали к плоскости,
т.е. это уравнение плоскости , которая проходит через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.
В условии задачи даны координаты точки, через которую проходит плоскость и есть два вектора, параллельные плоскости.
Воспользуемся свойством векторного произведения двух векторов
Векторным произведением двух векторов: вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) называется вектор \(\vec{c}\), который перпендикулярен векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Т.о. найдя векторное произведение \( \vec{s_1}\times \vec{s_2} = \vec{N}\) мы найдем нужные координаты вектора нормали.
Найдем \(\vec{N}\)
$$\vec{N} = \vec{s_1}\times \vec{s_2} = \left|\begin{array}{c} i & j & k\\ 1 &2 & 8 \\ 4 & 0 & 2\end{array}\right| = i*2*2+j*8*4+k*1*0-k*2*4-i*8*0-j*1*2=4i+30j-8k$$ получили координаты \(\vec{N} = (4;30;-8)\)
Подставляем координаты точки и вектора в формулу (1)
$$4(x-2)+30(y+4)-8(z-3) = 0 => 2(x-2)+15(y+4)-4(z-3) = 0 =>$$$$2x-4+15y+60-4z+12 = 0 => 2x+15y-4z+68 = 0$$
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно двум заданным прямым \(2x+15y-4z+68 = 0\)
