найти предел не пользуясь правилом Лопиталя $$ \lim_{x \to 0}x*ctg(5x)$$

Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{x \to 0}x*ctg(5x) \)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x \to 0}x*ctg(5x) = 0*\infty$$ получили неопределенность вида \( 0*\infty \). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя.
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to 0}x*ctg(5x) = \lim_{x \to 0}x\frac{ \cos(5x)}{ \sin(5x)} =$$ Воспользуемся первым замечательным пределом $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1$$ Преобразуем предел к первому замечательному пределу $$ = \lim_{x \to 0}\frac{ \cos(5x)}{ \frac{\sin(5x)}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{ \cos(5x)}{ 5\frac{\sin(5x)}{5x}} =$$$$ \frac{ 1}{ 5*1} = \frac{1}{5}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}x*ctg(5x) =  \frac{1}{5}\)