Задание: найти область определения функции $$y = 2^\sqrt{2x-x^2}+\log_2(x^2-1)$$
Решение: функция представляет собой суммы двух функций:
1. показательная функция \(y =2^\sqrt{2x-x^2}\) . Ограничения на область определения показательной функции накладывает степенная функция \(\sqrt{2x-x^2}\), подкоренное выражение которой \(2x - x^2 \geq 0\)
2. логарифмическая функция \(y = \log_2(x^2-1)\), по определению область определения логарифма - выражение под знаком логарифма больше 0 , т.е. \(x^2-1 > 0\)
Объединяем полученные неравенства в систему неравенств $$\begin{cases}2x - x^2 \geq 0 \\x^2-1 > 0\end{cases}=> \begin{cases}x(x -2) \leq 0 \\ |x| > 1\end{cases}=> $$$$ \begin{cases} 0 \leq x \leq 2 \\ x < -1 \cup x > 1\end{cases}=> 1 < x \leq 2 $$
Ответ: область определения функции \(y = 2^\sqrt{2x-x^2}+\log_2(x^2-1)\) равна \(D_f=(1; 2]\)
