Решение: функция \( y = \sin(x) - \cos(x)\) состоит из разности двух периодических функций с периодом \(2\pi\), поэтому будем искать наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке \([-\pi;\pi]\), т.е. на одном периоде (отрезок периода \(2\pi\) можно выбрать любой, мне удобнее этот).
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции \( y= \sin(x) - \cos(x) \) на отрезке \( [-\pi;\pi] \).
Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю $$y' = (\sin(x) - \cos(x))' = \cos(x)+\sin(x)$$ приравняем производную к нулю $$ \cos(x)+\sin(x) = 0 => \cos(x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x) =0$$применим формулу суммы косинусов \(\cos(x)+\cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})\), получаем $$ 2\cos(\frac{x+\frac{ \pi}{2}-x}{2})\cos(\frac{x-\frac{ \pi}{2}+x}{2}) =0 => 2\cos(\frac{ \pi}{4})\cos(x-\frac{ \pi}{4}) =0 =>$$$$2\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) =0 => \cos(x - \frac{\pi}{4}) =0 => $$$$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}+\pi n => x = \frac{3\pi}{4}+\pi n \quad n \in Z $$
2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбираем значения \(n\) при которых \(x \in [-\pi;\pi]\), получаем $$x = \frac{3\pi}{4}+\pi n => x_1 = -\frac{\pi}{4}; \quad x_2= \frac{3\pi}{4}$$ Получили точки вероятного экстремума (минимума, максимума).
3. Находим значения функции в выбранной стационарной точке (см п.2).
Найдем значение функции в точке
\(x = -\frac{\pi}{4} \quad f(-\frac{\pi}{4})= \sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\)
\(x = \frac{3\pi}{4} \quad f(\frac{3\pi}{4})= \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)
4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
$$f(-\pi)= \sin(-\pi) - \cos(-\pi) = 0 +1 = 1$$
$$f(\pi)= \sin(\pi) - \cos(\pi) = 0 +1 = 1$$
5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наибольшим значением может быть точка максимума (если есть), если нет точки максимума, то сравниваем значения функции на концах отрезка.
Наименьшим значением может быть точка минимума (если есть), если нет точки минимума, то сравниваем значения функции на концах отрезка.
Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в стационарной точке \(f(\frac{3\pi}{4})= \sqrt{2}\), т.к. значения функции на концах отрезка меньше \(f(-\pi)= f(\pi) =1 < f(\frac{3\pi}{4})= \sqrt{2}\), которая оказалась точкой максимума, можно проверить это путем определения знака первой производной слева и справа от стационарной точки.
проверяем, что данная точка является точкой максимума, определяем знак первой производной слева и справа от стационарной точки.
\(f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + 1 = 1 \),
\(f'(\pi) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1+0 = -1 \),
получили, что производная изменила знак с \( + \quad 0 \quad - \), т.е. это действительно точка максимума.
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в стационарной точке \(f(-\frac{\pi}{4})= -\sqrt{2}\), т.к. значения функции на концах отрезка больше \(f(-\pi)= f(\pi) =1 > f(-\frac{\pi}{4})= - \sqrt{2}\), которая оказалась точкой минимума, можно проверить это путем определения знака первой производной слева и справа от стационарной точки.
проверяем, что данная точка является точкой минимума, определяем знак первой производной слева и справа от стационарной точки.
\(f'( -\pi) = \cos(-\pi) + \sin(-\pi) = -1 + 0 = -1 \),
\(f'( 0) = \cos(0) + \sin(0) = 1+0 = 1 \),
получили, что производная изменила знак с \( - \quad 0 \quad + \), т.е. это действительно точка минимума.
Т.о. в данном типе задач необязательно выяснять, является ли стационарная точка точкой экстремума, достаточно найти значение функции в этой точке и сравнить со значениями функции на концах отрезка.
Проверяем полученный результат, строим график функции:
