Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума f(x)= e^x \sin(x)
Решение:
Функция f(x)= e^x \sin(x) состоит из произведения двух функций y_1=e^x - монотонно возрастающая функция и y_2=\sin(x) - периодическая функция с периодом 2\pi, поэтому рассматривать функцию будем на указанном периоде, например на отрезке [-\pi;\pi]. Поведение функции на других интервалах будет аналогично.
Схема исследования функции на максимум (экстремум).
1. Находим интервалы монотонности.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю y' = ( e^x \sin(x))'= e^x \sin(x) + e^x \cos(x)
приравняем к 0
e^x \sin(x) + e^x \cos(x) = 0 => \sin(x) + \cos(x) = 0 =>
\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}+x) =0 => \frac{pi}{4}+x = \pi n => x = -\frac{\pi}{4} + \pi n
функция имеет две критические (стационарные) точки на рассматриваемом интервале
x_1 = - \frac{\pi}{4}; \quad x_2= \frac{3\pi}{4}
2. Находим интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки, они делят рассматриваемый интервал на три интервала монотонности.
интервал (-\pi; - \frac{\pi}{4}) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(- \frac{\pi}{2}) = e^x(\sin(x) + \cos(x)) < 0, на этом интервале функция убывает.
интервал (- \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(0) = e^x(\sin(x) + \cos(x)) > 0, на этом интервале функция возрастает.
интервал ( \frac{3\pi}{4}; \pi) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(\frac{7}{8}\pi) = e^x(\sin(x) + \cos(x)) < 0, на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
для x = - \frac{\pi}{4}: \quad - \quad 0 \quad +, т.е. функция имеет точку минимума с координатами (- \frac{\pi}{4};-0.32)
для x = \frac{3\pi}{4}: \quad + \quad 0 \quad -, т.е. функция имеет точку максимума с координатами ( \frac{3\pi}{4};7.46)
Можно убедиться, что на других интервалах функция будет вести себя аналогично с учетом периода, т.к. функция y_1=e^x монотонно возрастающая, то значения функции в точках экстремума будут возрастать по модулю.
Т.о. можно записать:
интервалы возрастания (- \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)
интервалы убывания (- \pi + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n) \cup ( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \pi + 2\pi n)
Экстремумы:
максимумы при : x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n
минимумы при : x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n
График функции
на отрезке [-\pi;\pi]
на отрезке [-3\pi;-\pi]
на отрезке [\pi;3\pi]
