Решение: Определение периодической функции: функция называется периодической с периодом T, если для функции справедливо равенство: \(f(x+T)=f(x)\)
В задании дана функция \( y = \cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) \), назовем ее сложной функцией, т.к. она состоит из двух периодических функций.
Это функция вида \(y = af(kx+b)+a_1g(k_1x+b_1)\)
Алгоритм нахождения периода сложной функции \(y\)
1. найдем период каждой функции вида y=af(kx+b) отдельно, где a, k и b — некоторые числа, период рассчитывается по формуле \(T_1=\frac{T}{|k|}\), где \(T\) - период соответствующей простейшей функции.
Находим периоды:
период функции \(\cos(x)\): \(T=2\pi; \quad k=1 => \quad T_1= \frac{2\pi}{1} = 2\pi\)
период функции \(tg(\frac{x}{4})\): \(T=\pi; \quad k=\frac{1}{4}=> \quad T_2 = \frac{\pi}{\frac{1}{4}} = 4\pi\)
2. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) полученных периодов
Алгоритм нахождения НОК следующий: НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел \(T_1;T_2\) причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Разложим периоды на простые множители
\(T_1= 2\pi\)
\(T_2= 4\pi = 2^2\pi\)
Получили простые множители 2 и \(\pi\)
число \(2\), берем это число с наибольшей степенью,т.е. \(2^2\)
число \( \pi\), берем это число с наибольшей степенью,т.е. \(\pi\)
получили искомый период \(T_3=2^2\pi = 4\pi\)
\(\cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) = \cos(x+4\pi) - 2tg(\frac{x+4\pi}{4})\)
Ответ: наименьший период функции \( y = \cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) \) равен \(T = 4\pi\)
