Решение: Определение периодической функции: функция называется периодической с периодом T, если для функции справедливо равенство: f(x+T)=f(x)
В задании дана функция y = \cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) , назовем ее сложной функцией, т.к. она состоит из двух периодических функций.
Это функция вида y = af(kx+b)+a_1g(k_1x+b_1)
Алгоритм нахождения периода сложной функции y
1. найдем период каждой функции вида y=af(kx+b) отдельно, где a, k и b — некоторые числа, период рассчитывается по формуле T_1=\frac{T}{|k|}, где T - период соответствующей простейшей функции.
Находим периоды:
период функции \cos(x): T=2\pi; \quad k=1 => \quad T_1= \frac{2\pi}{1} = 2\pi
период функции tg(\frac{x}{4}): T=\pi; \quad k=\frac{1}{4}=> \quad T_2 = \frac{\pi}{\frac{1}{4}} = 4\pi
2. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) полученных периодов
Алгоритм нахождения НОК следующий: НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел T_1;T_2 причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Разложим периоды на простые множители
T_1= 2\pi
T_2= 4\pi = 2^2\pi
Получили простые множители 2 и \pi
число 2, берем это число с наибольшей степенью,т.е. 2^2
число \pi, берем это число с наибольшей степенью,т.е. \pi
получили искомый период T_3=2^2\pi = 4\pi
\cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) = \cos(x+4\pi) - 2tg(\frac{x+4\pi}{4})
Ответ: наименьший период функции y = \cos(x) - 2tg(\frac{x}{4}) равен T = 4\pi
