Решение: согласно условия задачи нужно найти уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма. Уравнения прямых будем искать по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, т.е. нужно найти все четыре вершины параллелограмма.
1. Известна одна вершина с координатами A(3,-1), проверим принадлежит ли она данным прямым:
A(3,-1) \( l_1: \quad 2x-y+3 = 0 => 2*3 - (-1)+3 \ne 0 \)
A(3,-1) \( l_2: \quad x+3y-2 = 0 => 3 + 3(-1)-2 \ne 0 \)
Получили, что точка не принадлежит прямым.
Согласно условия задачи, две стороны параллелограмма лежат на двух прямых \( l_1: \quad 2x-y+3=0 \) и \( l_2: \quad x+3y-2=0\), определим взаимное расположение этих прямых.
Прямые могут быть коллинеарными или пересекающимися
Проверяем прямые на коллинеарность
Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают
Прямые \(l_1: \quad A_1x+B_1y+C_1=0 \) и \(l_2: \quad A_2x+B_2y+C_2=0\) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число \( \lambda \ne 0\) , что \(A_1 = \lambda A_2\), \(B_1 = \lambda B_2\) , но \( C_1 \ne \lambda C_2\).
По другому это условие можно записать $$l_1||l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $$
Прямые \(l_1, l_2\) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: \(A_1 = \lambda A_2\), \(B_1 = \lambda B_2\) , \( C_1 = \lambda C_2\).
По другому это условие можно записать $$ l_1≡ l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$
Проверяем на коллинеарность прямые \( l_1: \quad \quad 2x-y+3=0\) и \( l_2: \quad x+3y-2=0\). $$ \frac{2}{1} \ne \frac{-1}{3} \ne \frac{3}{-2} $$
Вывод: прямые не являются коллинеарными.
2. Найдем вторую вершину - точку пересечения прямых \( l_1: \quad 2x-y+3=0 \) и \( l_2: \quad x+3y-2=0\)
Составим систему уравнений $$ \begin{cases}2x-y+3=0 \\ x+3y-2=0\end{cases} => \begin{cases} 2x-y+3=0 \\ 2x+6y-4=0 \end{cases} => \begin{cases}x=-1\\ y=1\end{cases}$$
Получили точку пересечения С(-1;1)
Вывод: точка пересечения двух сторон - вершина параллелограмма С(-1;1).
Получили две вершины, которые лежат на одной диагонали A(3;-1) и C(-1;1).
Найдем уравнение первой диагонали, проходящей через две заданные точки по формуле \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\).
Подставляем координаты вершин A(3;-1) и C(-1;1) в уравнение и получим искомое уравнение диагонали $$ \frac{x-3}{-1-3} = \frac{y+1}{1+1} => y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x$$
Ответ: получили первое уравнение прямой, на которой лежит диагональ \( y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x \)
3. Найдем третью вершину.
Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Получаем, что через вершину C проходит две прямые, параллельные известным, найдем их, для этого применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Направление - угловой коэффициент прямой \(y - y_0 = k(x-x_0)\). Для параллельных прямых известно свойство - угловые коэффициенты параллельных прямых равны \(k_1=k_2\).
Рассмотрим прямую \( l_1: \quad \quad 2x-y+3=0 \) преобразуем канонической уравнение прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом \( y = kx+b\)
\( l_1: \quad \quad 2x-y+3=0 => y = 2x+3 => k=2\)
Найдем искомое уравнение прямой, для точки A(3;-1) с угловым коэффициентом \( k =2\), получаем \(y+1 = 2(x-3) => y = 2x-7\)
найдем точку пересечения полученной прямой \( y = 2x-7 \) и \( l_2: \quad x+3y-2 = 0 \). Составим и решим систему уравнений $$ \begin{cases}y = 2x-7 \\ x+3y-2 = 0\end{cases} => \begin{cases}y = 2x-7 \\ 2x+6y-4 = 0\end{cases} => \begin{cases}y = - \frac{3}{7} \\ x = \frac{23}{7} \end{cases}$$
Получили координаты искомой вершины \(B( \frac{23}{7}; - \frac{3}{7} )\)
Рассмотрим прямую \( l_2: \quad x+3y-2 = 0 \) преобразуем канонической уравнение прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом \( y = kx+b\)
\( l_2: \quad \quad x+3y-2 = 0 => y = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}x => k = - \frac{1}{3}\)
Найдем искомое уравнение прямой, для точки A(3;-1) с угловым коэффициентом \( k = - \frac{1}{3}\), получаем \(y+1 = - \frac{1}{3}(x-3) => y = - \frac{1}{3}x \)
4. Найдем четвертую вершину.
Найдем точку пересечения полученной прямой \( y = - \frac{1}{3}x \) и \( l_1: \quad 2x-y+3 = 0 \). Составим и решим систему уравнений $$ \begin{cases} y = - \frac{1}{3}x \\ 2x-y+3 = 0 \end{cases} => \begin{cases} y = \frac{3}{7} \\ x = -\frac{9}{7} \end{cases} $$
Получили координаты искомой вершины \(D( -\frac{9}{7}; \frac{3}{7} )\)
Найдем уравнение второй диагонали, проходящей через две заданные точки по формуле \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\).
Подставляем координаты вершин \(B( \frac{23}{7}; - \frac{3}{7} )\) и \(D( -\frac{9}{7}; \frac{3}{7} )\) в уравнение и получим искомое уравнение диагонали $$ \frac{x-\frac{23}{7}}{- \frac{9}{7}-\frac{23}{7}} = \frac{y+ \frac{3}{7}}{\frac{3}{7}+ \frac{3}{7}} => y = -\frac{3}{16}x + \frac{3}{16}$$
Ответ: получили второе уравнение прямой, на которой лежит диагональ \( y = -\frac{3}{16}x + \frac{3}{16} \)
Ответ: уравнения диагоналей параллелограмма \( y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x \) и \( y = -\frac{3}{16}x + \frac{3}{16} \)
Строим рисунок:
