Решение: упростим выражение с модулями.
Проведем преобразования. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $$\frac{\frac{\mid b-1\mid}{b}+b\times\mid b-1\mid+2-\frac{2}{b}}{\sqrt{b-2+\frac{1}{b}}} =\frac{\frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2b-2}{b}}{\sqrt{b-2+\frac{1}{b}}} = $$ приведем к общему знаменателю дроби в знаменателе $$ = \frac{\frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2b-2}{b}}{ \frac{1}{ \sqrt{b}}\sqrt{b^2-2b+1}} = \frac{\frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2b-2}{b}}{ \frac{1}{ \sqrt{b}}\sqrt{(b-1)^2}} =$$$$ = \frac{\frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2b-2}{b}}{ \frac{1}{ \sqrt{b}}\mid b-1 \mid} = \frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2(b-1)}{ \sqrt{b}\mid b-1 \mid}$$
Раскроим модуль по формуле\(|x| =\left\{\begin{matrix}x, x\geq 0 \\-x, x < 0 \end{matrix}\right.\)
Учтем, что согласно ОДЗ дроби \(b \ne 1\)получим $$|b-1| =\left\{\begin{matrix}b-1, & b > 1 \\-(b - 1), & b < 1 \\ b \ne 1 \end{matrix}\right.$$ подставляем в формулу задание и рассмотрим два случая:
1. \(|b-1| = b -1, \quad b > 1\)
подставляем в формулу выражения $$ \frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2(b-1)}{ \sqrt{b}\mid b-1 \mid} = \frac{(b-1)+b^2\times (b-1)+2(b-1)}{ \sqrt{b}(b-1)}= $$ сокращаем в числителе и знаменателе \(b-1\) $$ = \frac{1+b^2+2}{ \sqrt{b}}= \frac{b^2+3}{ \sqrt{b}}$$
2. \(|b-1| = -(b -1), \quad b < 1\)
подставляем в формулу выражения $$ \frac{\mid b-1\mid+b^2\times\mid b-1\mid+2(b-1)}{ \sqrt{b}\mid b-1 \mid} = \frac{-(b-1)-b^2\times (b-1)+2(b-1)}{- \sqrt{b}(b-1)}= $$ сокращаем в числителе и знаменателе \(b-1\) $$ = -\frac{-1-b^2+2}{ \sqrt{b}}= \frac{b^2-1}{ \sqrt{b}}$$
