Решение: решим уравнение \(\sqrt{5-ctgx}=3-ctgx\)
Определим ОДЗ уравнения $$\begin{cases}5-ctgx \geq 0\\3-ctgx \geq 0\end{cases} => \begin{cases} ctgx \leq 5\\ ctgx \leq 3\end{cases} => ctgx \leq 3$$
Решаем уравнение, возводим обе части уравнения в квадрат $$\sqrt{5-ctgx}=3-ctgx => (\sqrt{5-ctgx})^2=(3-ctgx)^2 =>$$$$ 5-ctgx= 9 - 6ctgx + ctgx^2 => 4 - 5ctgx + ctgx^2 = 0 =>$$ получили квадратное уравнение относительно котангенса, решим его, найдем корни уравнения $$ ctgx_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} => ctgx_1 = 1; \quad ctgx_2 = 4$$ Выбираем корень, удовлетворяющий ОДЗ \(ctgx \leq 3\), т.е. $$ctgx = 1 => x = \frac{ \pi}{4} + \pi n$$
Ответ: решение уравнения \(x = \frac{ \pi}{4} + \pi n\)
