Задача: вектора \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) заданы своими координатами \(\vec{a}(2;1;3) ; \vec{b}(3;1;4 ) ; \vec{c}(0;1;-1)\) и вектор \(\vec{d} = 2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}\)
Найти :
1. Вычислить координаты вектора \(\vec{d}\), который является линейно комбинацией векторов \(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \quad \), где \( \vec{d} =2 \vec{a} - 3\vec{b} \)
2. Найти длину и направление вектора \(\vec{d}\)
3. Найти угол между векторами \(\vec{b}\), \(\vec{d}\)
4. Построить векторы \( \vec{d}\) и \( \vec{c}\)
Решение:
1. Вычислить координаты вектора \(\vec{d}\), который является линейно комбинацией векторов \(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \quad \), где \( \vec{d} =2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\).
Воспользуемся формулами :
Сумма векторов: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}(x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b)\)
Произведение вектора на число: \( λ · \vec{a} = \vec{p}(λx_a; λy_a; λz_a)\)
Получаем:
\(2\vec{a} = \vec{a_1}(2*2;2*1;2*3) = \vec{a_1}(4;2;6)\)
\(3\vec{b} = \vec{b_1}(3*3;3*1;3*4) = \vec{b_1}(9;3;12)\)
\(\vec{d} = 2\vec{a}-3\vec{b}+ \vec{c} = \vec{a_1} - \vec{b_1} + \vec{c} = > \vec{d}(4-9+0;2-3+1;6-12-1) => \vec{d} = (-5;0;-7)\)
2. Найти длину и направление вектора \(\vec{d}\)
Длина вектора \( \vec{AB}\) в пространстве - это расстояние между точками A и B.
Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
$$ \vec{a} = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2} = \sqrt{(x_B − x_A)^2 + (y_B − y_A)^2 + (z_B − z_A)^2}$$
Находим длину вектора \(|d|\)
\(|d| = \sqrt{(-5)^2+0^2+(-7)^2} = \sqrt{74}\)
Направление вектора.
Найдем направляющие косинусы по формуле $$ \cos\alpha = \frac{x}{ \sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}}; \quad \cos\beta = \frac{y}{ \sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}}; \quad \cos\gamma = \frac{z}{ \sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}}$$
Подставляем координаты в формулу, получаем
\(\cos\alpha = -\frac{5}{ \sqrt{74}}\)
\(\cos\beta = \frac{0}{ \sqrt{74}} = 0\)
\(\cos\gamma = -\frac{7}{ \sqrt{74}}\)
Проверяем результат, применим формулу \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^\gamma = 1\), получим
\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^\gamma = \frac{25}{74} + 0 + \frac{49}{74} = \frac{74}{74} = 1\)
3. Найти угол между векторами \(\vec{b}\), \(\vec{d}\)
Косинус угла между векторами находится по формуле $$ \cos\phi = \frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{ \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$
подставляем координаты векторов \(\vec{b}(3;1;4 ); \quad \vec{d} = (-5;0;-7)\)
\( \cos\phi = \frac{3*(-5)+1*0+4*(-7)}{\sqrt{3^2+1^2+4^2}\sqrt{(-5)^2+0^2+(-7)^2}} = -\frac{43}{2 \sqrt{481}} => \phi \approx 168.6^0\)
