Решение: Нормальным распределением или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей \(p(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\), где \(a\) и \(\sigma\) называются параметрами нормального распределения и равны
параметр \(a = M(X)\) - математическое ожидание
параметр \(\sigma = \sqrt{D(X)}\) - среднее квадратическое отклонение случайной величины
Вероятность попадания значений нормальной случайной величины \(X\) в интервал \((\alpha;\beta)\) определяется формулой $$P(\alpha < x < \beta) = \phi(\frac{ \beta-a}{\sigma})-\phi(\frac{ \alpha -a}{\sigma}) \quad (1)$$ где \(\phi(x)\) - функция Лапласа: \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt\)
Из условия задачи следует, что \(a = 8\), \(\sigma = 5\).
Применим формулу (1) для решения задачи $$P(X > 3) = P(3 < X < +\infty) = \phi(\frac{+\infty - 8}{5}) - \phi(\frac{3-8}{5}) = $$$$ = \phi(+\infty) - \phi(-\frac{5}{5})$$ воспользуемся свойством нечетности функции Лапласа \(\phi(-X) = -\phi(X)\), получаем $$ = \phi(+\infty) + \phi(1) = $$ находим значение функции Лапласа по таблице \(\phi(+\infty) = \frac{1}{2}\), \(\phi(1) = 0.34134\), подставляем в формулу, получаем $$ = 0.5 + 0.34134 = 0.84134$$
Ответ: вероятность \(P(X > 3) = 0.84134\)
