Было проведено 3 эксперимента. Вероятность успеха 0.8 Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение: пусть  $X$ - дискретная случайная величина равная числу удачных экспериментов в серии из 3 экспериментов, тогда $X \in \text{{0,1,2,3}}$, запишем закон распределения случайной величины в виде таблицы:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline  \\ p_i&  &  &  & \\ \hline    \end{array}$$
Найдем вероятности случайных величин. 
событие $A_1$ - первый эксперимент удачный, а событие $\overline{A_1}$ - неудачный, тогда $P(A_1) = 0.8$, а $P(\overline{A_1}) = 0.2$
событие $A_2$ - второй эксперимент удачный, а событие $\overline{A_1}$ - неудачный, тогда $P(A_2) = 0.8$, а $P(\overline{A_2}) = 0.2$
событие $A_3$ - третий эксперимент удачный, а событие $\overline{A_1}$ - неудачный, тогда $P(A_3) = 0.8$, а $P(\overline{A_3}) = 0.2$
тогда случайная величина $X = i$ равна
$X = 0; \quad \overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}$ - все три эксперимента неудачные
$X = 1; \quad A_1\overline{A_2}\overline{A_3} + \overline{A_1}A_2\overline{A_3} + \overline{A_1}\overline{A_2}A_3$ - один эксперимент удачный 
$X=2; \quad A_1A_2 \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2}A_3 + \overline{A_1}A_2A_3$ - два эксперимента удачные  
$X=3; \quad A_1A_2A_3$ - три эксперимента удачные

Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем его вероятность:

1.  $X=0$ все три эксперимента неудачные
$$p(X=0) = p(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}) = p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})p(\overline{A_3}) = 0.2*0.2*0.2 = 0.008$$
2. $X=1$ один эксперимент удачный
$$p(X=1) = p(A_1\overline{A_2}\overline{A_3} + \overline{A_1}A_2\overline{A_3} + \overline{A_1}\overline{A_2}A_3) =$$ $$=  p(A_1\overline{A_2}\overline{A_3}) + p(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + p(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) =$$ $$= p(A_1)p(\overline{A_2})p(\overline{A_3}) + p(\overline{A_1})p(A_2)p(\overline{A_3}) + p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})p(A_3) =$$ $$= 0.8*0.2*0.2 + 0.2*0.8*0.2 + 0.2*0.2*0.8 = 0.096$$
3.  $X=2$ два эксперимента удачных
$$p(X=2) = p(A_1A_2 \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2}A_3 + \overline{A_1}A_2A_3) =$$ $$=  p(A_1A_2 \overline{A_3}) + p(A_1 \overline{A_2}A_3) + p(\overline{A_1}A_2A_3)=$$ $$= p(A_1)p(A_2)p(\overline{A_3}) + p(A_1)p(\overline{A_2})p(A_3) + p(\overline{A_1})p(A_2)p(A_3)=$$ $$= 0.8*0.8*0.2 + 0.8*0.2*0.8 + 0.2*0.8*0.8 = 0.384$$
4.  $X=3$ три эксперимента удачных
$$p(X=3) = p(A_1A_2A_3)= p(A_1)p(A_2)p(A_3)= 0.8*0.8*0.8 = 0.512$$

Проверяем результат: так как все события $X \in \text{{0,1,2,3}}$  образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. $p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) =$ $= 0.008 +  0.096 + 0.384 + 0.512 = 1$ расчеты проведены правильно, заполняем таблицу

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 0& 1& 2& 3 \\ \hline  \\ p(X=i)& 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512  \\ \hline    \end{array}$$

Найдем математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
$$M(X) = x_1p(X_1) + x_2p(X_2) + ... + x_np(X_n) = \sum_{k=1}^{n}x_kp(X_k)$$
берем все данные из таблицы, получаем
$$M(X) = 0* 0.008 + 1*0.096 + 2*0.384 + 3*0.512 = 2.4$$

Ответ: математическое ожидание $M(X) = 2.4$

Найдем дисперсию

Запишем закон распределения случайной величины $(X-M(X))^2$

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X& (0-2.4)^2& (1-2.4)^2 & (2-2.4)^2 & (3-2.4)^2 \\ \hline  \\ p(X=i)& 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512  \\ \hline    \end{array}$$
Дисперсию дискретной случайной величины будем искать по формуле $D(X) = \sum_{k=1}^{n}(X_k-M(X))^2p_k$ 
$$D(X) = (0-2.4)^2*0.008+(1-2.4)^2*0.096+$$ $$+(2-2.4)^2*0.384+(3-2.4)^2*0.512 = 0.48$$  

Ответ: дисперсия равна $D(X) = 0.48$