$$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+6}=6$$Данное уравнение можно решить,если провести ряд преобразование, которые бы позволили избавиться от кубического корня. Проведем замену \(\sqrt[3]{x-2}=t\), теперь необходимо произвести замену \(\sqrt{x+6}\) -получим это уравнение из уравнения замены $$\sqrt[3]{x-2}=t =>x-2=t^3 =>x+6 = t^3+8$$Подставим полученные замены в уравнение и получим$$t+\sqrt{t^3+8}=6 =>\sqrt{t^3+8}=6-t =>\\ \left\{
\begin{array}{l l}
t^3+8=(6-t)^2\\
t^3+8 \geq 0\\
\end{array} \right. \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l l}
t^3+8=36 - 12t +t^2\\
t^3 \geq -8\\
\end{array} \right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l l}
t^3 -t^2 +12t -28=0\\
t \geq -2\\
\end{array} \right.$$ Получили кубичесоке уравнение, необходимо найти его корни. Один из методов нахождения корней кубического уравнения является Теорема Безу (и ее следствия).
Следствие Теоремы Безу
Если уравнение \(а_0х_n + a_1x_{n-1}+ … + a_{n-1}x+a_n = 0\), где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.
Находим делители свободного члена (28)- \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\, \pm 7, \pm 14, \pm 28\).
Подставляем эти делители в уравнение и найдем тот, при котором кравнение равно 0 это и будет первый корень $$t=1,\quad 1^3-1^2+12-28 \ne 0 \\t=-1,\quad (-1)^3-(-1)^2 -12-28 \ne 0 \\ t=2, \quad2^3-2^2+12*2-28 = 0$$Получили первый корень t=2, как известно уравнение третьей степени может иметь до 3-х корней. Для поиска оставшихся воспользуемся схемой Горнера - схема деления многослена на многочлен. Т.к. t=2 - корень, то многочлен делится на (t-2) без остатка согласно Теоремы Безу.
Многослены можно поделить в столбик (как в начальной школе делят два числа в столбик)$$\left.-\frac{t^3 -t^2 +12t -28}{\frac{t^3-2t^{2}}{- \frac{t^2+12t-28}{- \frac{t^2-2t}{- \frac{14t-28}{\frac{14t-28}{0}}}}}}\right|\frac{t-2}{t^2+t+14}$$
$$t^3 -t^2 +12t -28=(t-2)(t^2+t+14)$$Многочлен второй степени \(t^2+t+14\) действительтных корней не имеет, т.е. получили единственный действительный корень t=2 (помним, что ОДЗ \(t \geq -2\)). Подставил его в уравнение замены.$$ \sqrt[3]{x-2}=t => \sqrt[3]{x-2}=2 => x-2=8 => x=10$$
