Решение:
Запишем комплексное число \(z=\frac{4}{ \sqrt{3}+i}\) в алгебраической форме.
выполним действия над комплексными числами \(z= \frac{4}{ \sqrt{3}+i}\) :
избавимся в знаменателе от комплексного числа, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю \(\sqrt{3}-i \) $$ z= \frac{4}{ \sqrt{3}+i}*\frac{ \sqrt{3}-i}{ \sqrt{3}- i} = \quad (1)$$ в знаменателе получили произведение двух комплексно сопряженных чисел \(\sqrt{3}+i\) и \(\sqrt{3}-i\), учтем что \( i^2=-1 \), применяем формулу разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), получаем \((\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) = 3 - i^2 = 3 + 1 = 4\), подставляем в (1) $$ = \frac{4(\sqrt{3}-i)}{ 4} = \sqrt{3}-i$$
Ответ: комплексное число \(z\) в алгебраической форме \(z = \sqrt{3}-i\)
Запишем комплексное число \(z = \sqrt{3}-i\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad (2)$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = \sqrt{3}\), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = -1\), получаем $$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2 $$
найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = \sqrt{3} > 0\), \(y = -1 < 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{-1}{\sqrt{3}} = - \frac{\pi}{6}\) подставляем в (2) $$z = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}))$$
Ответ: комплексное число \(z\) в тригонометрической форме \(z = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}))\)
Запишем комплексное число \(z = 1-i\) в показательной форме
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = 2e^{-\frac{\pi}{6}i} $$
Ответ: комплексное число \(z\) в показательной форме \( z = 2e^{-\frac{\pi}{6}i} \)
получили равенство
\(z = \frac{4}{ \sqrt{3}+i} = \sqrt{3}-i = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{-\frac{\pi}{6}i} \)
