Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 11, из второго – 1

Запишем четыре первых числа в виде геометрической прогрессии, где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии:

1. \(a_1\)


2. \(a_2 = a_1*q\)


3. \(a_3 = a_1*q^2\)


4. \(a_4 = a_1*q^3\)

Запишем члены арифметической прогрессии, полученные из членов геометрической прогрессии, где \(b_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - шаг или разность прогрессии

1. \(b_1 = a_1 - 11\)


2. \(b_2 = b_1+d = a_1*q - 1\)


3. \(b_3 = b_1+2*d = a_1*q^2 - 3\)


4. \(b_4 = b_1+3*d = a_1*q^3 - 9\)

Для решения составим следующую систему уравнений для этого воспользуемся определением арифметической прогрессии, т.е. каждый последующий член получается из предыдущего путем прибавления \(d\). Разносить между двумя соседними членами арифметической прогрессии равны шагу прогрессии  \(b_4 - b_3 = d\), аналогично разность \(b_3 -b_2 =d \), \(b_2 -b_1=d\). Составим систему уравнений $$\begin{cases}b_4 - b_3 =b_3 - b_2 \\b_3 - b_2 = b_2 - b_1\end{cases} =>$$ подставим значения членов арифметической прогрессии согласно условия задачи, т.е. \(b_4 = a_1*q^3 - 9\) и т.д., получили систему уравнений $$\begin{cases}a_1*q^3 - 9 - (a_1*q^2 - 3) =a_1*q^2 - 3 - (a_1*q - 1) \\a_1*q^2 - 3 - (a_1*q - 1) = a_1*q - 1 - (a_1-11)\end{cases} => $$$$ \begin{cases}a_1*q^3 - 9 - a_1*q^2 + 3 =a_1*q^2 - 3 - a_1*q + 1 \\a_1*q^2 - 3 - a_1*q + 1 = a_1*q - 1 - a_1 + 11\end{cases} => $$$$ \begin{cases}a_1*q^3 - 2*a_1*q^2 + a_1*q - 4 = 0 \\a_1*q^2 - 2*a_1*q + a_1 = 12\end{cases} => $$вынесем в первом уравнении \(q\) за скобки и подставим значение второго уравнения в первое$$
\begin{cases}q*(a_1*q^2 - 2*a_1*q + a_1) = 4 \\a_1*q^2 - 2*a_1*q + a_1 = 12\end{cases} => \begin{cases}q*12 = 4 \\a_1*q^2 - 2*a_1*q + a_1 = 12\end{cases} => $$$$
\begin{cases}q = \frac{1}{3} \\a_1*\frac{1}{9} - 2*a_1*\frac{1}{3} + a_1 = 12\end{cases} => \begin{cases}q = \frac{1}{3} \\a_1*\frac{4}{9} = 12\end{cases} => \begin{cases}q = \frac{1}{3} \\a_1 = 27\end{cases} =>$$ Зная значение первого члена \(a_1=27\) и знаменателя геометрической прогрессии \(q= \frac{1}{3}\)

1. \(a_1 = 27\)


2. \(a_2 = a_1*q = 27*\frac{1}{3} = 9\)


3. \(a_3 = a_1*q^2 = 27*(\frac{1}{3})^2 =3\)


4. \(a_4 = a_1*q^3 =27*(\frac{1}{3})^3 =1\)

Ответ: искомые числа 27, 9, 3, 1.