Найдем производную функции: \( y = \ln^{\sin(x)}(3x) \)
Решение: найдем производную методом логарифмирования, т.е. воспользуемся формулой основного логарифмического тождества \( a^{ \log_ax} = x\), получаем $$ y = \ln^{\sin(x)}(3x) = e^{ \ln(\ln^{\sin(x)}(3x))} = e^{\sin(x)\ln(\ln(3x))}$$Теперь воспользуемся формулой производной показательной функции \( (a^x)' = a^x*\ln a \) и производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\), получаем $$ y' = (\ln^{\sin(x)}(3x))' = ( e^{\sin(x)\ln(\ln(3x))})' = $$$$ = e^{ \sin(x)\ln(\ln(3x))} *( \sin(x)\ln(\ln(3x)))' = (\ln^{\sin(x)}(3x))*( \sin(x)\ln(\ln(3x)))' = \quad (1)$$Для нахождения производной, воспользуемся формулой производной произведения $$ ( \sin(x)\ln(\ln(3x)))' = (\sin(x))'*\ln(\ln(3x)) + \sin(x)*(\ln(\ln(3x)))' = $$ $$= \cos(x)\ln(\ln(3x)) + \sin(x)*\frac{1}{\ln(3x)}*\frac{1}{3x}3 = \cos(x)\ln(\ln(3x)) + \sin(x)*\frac{1}{x\ln(3x)} $$ Подставляем в (1), получаем $$ (1) = \ln^{\sin(x)}(3x)*(\cos(x)\ln(\ln(3x)) + \frac{ \sin(x)}{x\ln(3x)}) $$
Ответ: \((\ln^{\sin(x)}(3x))' = \ln^{\sin(x)}(3x)*(\cos(x)\ln(\ln(3x)) +\frac{ \sin(x)}{x\ln(3x)})\)
