Исследуем функцию \( y = x - arctan(x) + \pi \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x - arctan(-x) + \pi \) функция является ни четной ни нечетной функцией.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$ x - arctan(x) + \pi = 0 => x = -4.49 $$ Координаты точки пересечения с осью Ox (-4.49;0)
Интервалы знакопостоянства функции: кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства на ОДЗ, рассмотрим их
интервал \((-\infty; -4.49)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2\pi) = x - arctan(x) + \pi < 0 \), функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \(( -4.49; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2\pi) = x - arctan(x) + \pi > 0 \), функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точка пересечения с осью Oy:
приравняем \(x=0\), получим $$y = x - arctan(x) + \pi => y = 0 - arctan(0) + \pi = \pi $$ Координаты точки пересечения с осью Ox (0; \pi)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x - arctan(x) + \pi)' = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{x^2+1}$$ приравняем к 0 $$ \frac{x^2}{x^2+1} = 0 => x = 0 $$ Получили одну критическую точку. Эта точка делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(-1) = \frac{x^2}{x^2+1} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(1) = \frac{x^2}{x^2+1} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка \(x=0\) производная меняет знак с \( + \quad 0 \quad +\) - знак не поменялся, т.е. эта точка экстремумом не является.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{x^2}{x^2+1})' = \frac{2x(x^2+1)- 2x^3}{(x^2+1)^2}= $$$$ = \frac{2x^3+2x- 2x^3}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} $$ Приравняем к 0 вторую производную $$ \frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 => x=0 $$ Получили точку возможного перегиба \( x =0 \) Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке интервала \(f''(-1) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке интервала \(f''(1) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая). Точки перегиба. Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка \(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Координаты точек перегиба \(( 0; \pi )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Точек разрыва функция не имеет график функции вертикальной асимптоты не имеет.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =x - arctan(x) + \pi \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}( x - arctan(x) + \pi) = +\infty => k= +\infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к \(k = +\infty\) - график функции наклонной асимптоты не имеет.
9. График функции.
