Найти определенный интеграл: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\cos(-5x)dx\)
Решение: применим форму преобразования произведения косинусов \(\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}\), применяем формулу $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\cos(-5x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x + 5x) + \cos(3x - 5x)}{2}dx = $$$$ = \frac{1}{2}[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(8x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2x)dx = $$применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{1}{2}[ \frac{1}{8}\sin(8x) +\frac{1}{2}\sin(2x)]|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}[ \frac{1}{8}\sin(8*\frac{\pi}{2}) +\frac{1}{2}\sin(2*\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{8}\sin(8*0) - \frac{1}{2}\sin(2*0)] = $$$$ = \frac{1}{2}[ \frac{1}{8}\sin(4\pi) +\frac{1}{2}\sin(\pi)] = 0$$
Ответ: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\cos(-5x)dx = 0\)
