Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности найти решение и сделат


0 Голосов
Захарова Ольг
Posted Декабрь 8, 2014 by Захарова Ольга Валерьевна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 1212

исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности найти решение и сделать проверку 
$$\begin{cases}3x_1+4x_2+x_3+2x_4=3\\ 6x_1+8x_2+2x_3+5x_4=7 \\ 9x_1+12x_2+3x_3+10x_4=13 \end{cases}$$

Теги: исследовать систему линейных уравнений на совместность, Кронекера-Капелли, метод Гаусса

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 8, 2014 by Вячеслав Моргун

Исследуем систему линейных уравнений на совместность.


Теорема Кронекера-Капелли: Система \(AX=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы $$rg(A|b) =rg A $$
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 
Применим метод Гаусса для исследования, для этого выполним следующие действия:


1. Составим расширенную матрицу системы,
Для ответа на вопрос о совместность составим  расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и свободных членов \((A|b) = \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 6 & 8 & 2 & 5 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  7 \\ 13  \end{array}\right.\right) \)


Согласно теоремы Кронекера-Капелли нужно найти ранг матрицы системы и сравнить с рангом расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы


2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 3 \ne 0\).
В общем случае нужно вынести 3 из первой строки для уплощения решения, но в данном случае элементы \(a_{21} = 6; \quad a_{31} = 9\) кратны 3, поэтому продолжим решение.
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\) 
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 6 & 8 & 2 & 5 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  7 \\ 13  \end{array}\right.\right) \sim  \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  1 \\ 13  \end{array}\right.\right) \sim\)  Из третей строки вычтем первую строку, умноженную на \(3\) 
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  1 \\ 4  \end{array}\right.\right)\)
Из третей строки вычтем вторую строку, умноженную на \(4\) 
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  1 \\ 0  \end{array}\right.\right)\)
Третья строка получилась нулевая. поэтому отбрасываем ее, получаем ступенчатую матрицу 
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  3 \\  1   \end{array}\right.\right)\) 


3. Определим ранг матрицы \(rgA = rg(A|b) = 2 \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений.


Так как система  совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:


4. Обратный ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{24} = 1 \ne 0\). 
Из первой строки вычитаем вторую строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  1   \end{array}\right.\right)\) 
Привели матрицу к ступенчатому виду, переменные \(x_1,x_4\) - базисные.


5. Записываем общее решение системы  $$ \begin{cases} x_1 = 1 - \frac{4}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 -\frac{2}{3}x_4 \\ x_4 = 1  \end{cases} =>  \begin{cases} x_1 = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3  \\ x_4 = 1  \end{cases} $$