Найти интеграл: \( \int \ln(2x+1)dx\)
Решение: найдем интеграл \(\int \ln(2x+1)dx = \)
1. применим метод замены переменной.
Введем замену \(2x+1=t => dx = \frac{1}{2}dt\), получаем \( \frac{1}{2} \int \ln(t)dt\).
2. найдем интеграл\( \frac{1}{2} \int \ln(t)dt\) применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \(dv = dt => v = t\), \(u = \ln(t) => du = \frac{1}{t}dt\), подставляем $$ \frac{1}{2} \int \ln(t)dt =\frac{1}{2}(t\ln(t) - \int t \frac{1}{t}dt) = \frac{1}{2}(t\ln(t) - \int dt ) = \frac{1}{2}(t\ln(t) - t)+C$$
3. применяем обратную замену \(t = 2x+1\), \( \frac{1}{2}(t\ln(t) - t)+C= \frac{1}{2}((2x+1)\ln(2x+1) - (2x+1))+C = \frac{1}{2}(2x+1)(\ln(2x+1)-1) +C\)
Ответ: \(\int \ln(2x+1)dx = \frac{1}{2}(2x+1)(\ln(2x+1)-1) +C\)
