Решение: рассмотрим функцию \( y = 10^{\frac{1}{x+5}} \).
Исследуем функцию на непрерывность по следующему алгоритму:
1. Найти область определения функции:
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x +5 \ne 0 => x \ne -5 \) ОДЗ $$D_f=( -\infty; -5) \cup (-5;+\infty)$$
Получили в точке \(x=-5\) функция требует исследование на непрерывность.
2. Точки разрыва функции и их классификация. Функция имеет одну точку разрыва \(x = -5\)
исследуем точку \(x= -5\). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -5+0} 10^{\frac{1}{x+5}} = 10^{\frac{1}{+0}} = 10^{ +\infty}= +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -5-0} 10^{\frac{1}{x+5}} = 10^{\frac{1}{-0}} = 10^{ -\infty} = 0 $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонний предел равен \( \infty\).
Прямая \(x = -5\) является вертикальной асимптотой при \(x \to -5\) справа.
3. вычислить предел функции при \( x \to \pm \infty\)
$$ \lim_{x \to -\infty} 10^{\frac{1}{x+5}} = 10^{\frac{1}{-\infty}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{\infty}}} = 1$$
$$ \lim_{x \to +\infty} 10^{\frac{1}{x+5}} = 10^{\frac{1}{+\infty}} = 10^{+0} = 1$$
получили, что \(y = 1\) - горизонтальная асимптота.
Определим как график функции приближается к асимптоте.
Найдем пределы \( \lim_{ \pm \infty}(k - f(x))\), где \(y = k\) - горизонтальная асимптота
\( \lim_{x \to -\infty} ( 1 - 10^{\frac{1}{x+5}}) = 0^+\) график функции приближается к асимптоте снизу.
\( \lim_{x \to +\infty} ( 1 - 10^{\frac{1}{x+5}}) = 0^-\) график функции приближается к асимптоте сверху.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y = 0\), получим \( 10^{\frac{1}{x+5}} = 0 \).
Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox
Интервалы знакопостоянства функции.
На области определения функции \(( -\infty; -5) \cup (-5;+\infty)\) кривая не имеет точек пересечения с осью Ox , т.е. рассмотрим два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
Функция \( y = 10^{\frac{1}{x+5}} \) - положительна при всех значениях \(x\) на всей области определения.
5. Точки пересечения с осью Oy:
приравняем \(x=0\), получим \( y(0) = 10^{\frac{1}{x+5}} => y = 10^{\frac{1}{5}} \approx 1.58 \). Получили одну точку пересечения с осью Oy с координатами \((0;10^{\frac{1}{5}})\)
6. Строим график функции \(y = 10^{\frac{1}{x+5}}\).
