A(-2;1) B(5;2) C(0;-6) знайти: а)довжину сторони AB б) рівняння прямої AM яка паралельна стороні

а) длина стороны AB
Длину стороны AB будем искать по формуле расстояния между точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Подставляем координаты точек A(-2;1), B(5;2), получаем $$|AB| = \sqrt{(5+2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{49+1}= 5 \sqrt{2}$$
Ответ: длина стороны AB равна \(|AB| = 5 \sqrt{2}\)

б) уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC
Найдем уравнение прямой BC и AC (понадобится далее).  Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(5;2) и C(0;-6)$$ BC \quad \frac{x-5}{0-5} = \frac{y-2}{-6-2} => y = \frac{8}{5}x - 6$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(-2;1) и C(0;-6)$$ AC \quad \frac{x+2}{0+2} = \frac{y-1}{-6-1} => y =- \frac{7}{2}x - 6$$
Найдем уравнение прямой AM, которая параллельна BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых $$k_1=k_2 \quad (2)$$ Угловой коэффициент одной параллельной прямой известен \(k_{BC} = \frac{8}{5} => \) из формулы (2) получаем угловой коэффициент прямой AM \(k_{AM} = \frac{8}{5}\). 
Найдем уравнение прямой AM, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка A(-2;1), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_{AM} = \frac{8}{5}\), получим $$ y - 1 = \frac{8}{5}(x + 2) => y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5}$$
Ответ: уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC \(y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5} \)

в) уравнение высоты BF
Найдем уравнение прямой BF, которая перпендикулярна AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $$k_1*k_2=-1 \quad (3)$$ Угловой коэффициент одной перпендикулярной прямой известен \(k_{AC} = -\frac{7}{2} => \) из формулы (3) получаем угловой коэффициент прямой BF \(k_{BF} = \frac{2}{7}\). 
Найдем уравнение прямой BF, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка B(5;2), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_{BF} = \frac{2}{7}\), получим $$ y - 2 = \frac{2}{7}(x -5) => y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}$$
Ответ: уравнение высоты BF \( y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7} \)
 

г) уравнение медианы AD

Для нахождения медианы AD есть координата одной точки A(-2;1), а координаты второй точки прямой D найдем как координаты середины отрезка \(BC\), где B(5;2) C(0;-6) по формуле \( M(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})\) => \( D(\frac{5+0}{2};\frac{2-6}{2}) \) => \( D(\frac{5}{2}; -2) \)
Находим уравнение прямой \(AD\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(A\) и \(D\)  уравнение (1)$$ \frac{x+2}{2,5+2}=\frac{y-1}{-2-1} => y =  -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$$
Ответ: уравнение медианы \( y =  -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \)

д) внутренний угол треугольника при вершине С 
Известны уравнения прямых, проходящих через вершину C 
\(BC \quad y = \frac{8}{5}x - 6\)
\(AC \quad y =- \frac{7}{2}x - 6\)
Угол между прямыми будем искать по формуле $$ tg(x) = |\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}| \quad (4) $$ , где \(k_1= \frac{8}{5}\), \(k_2= -\frac{7}{2}\), подставляем в (4) $$tg(\angle C) = |\frac{-\frac{7}{2}-\frac{8}{5}}{1-\frac{7}{2}*\frac{8}{5}}| = \frac{51}{46} => $$$$\angle C \approx 48^0$$
Ответ: угол при вершине C \( \angle C \approx 48^0 \)