Решение: Рассмотрим рисунок, предположим, что на рисунке искомая кривая. Выберем любую точку на кривой и составим уравнение, согласно условия задачи. Рассмотрим т. M(x;y). Запишем уравнение для этой точки. Расстояние от этой точки до точки A(-1;-1) в декартовой системе координат равно S=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} Подставляем координаты точек и получаем S=\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2} В задании говорится о расстоянии от точки кривой до прямой x = -3, которое равно разности координат x точки кривой и прямой, т.е. которое равно x+3. Согласно условия, отношение этих длин равно \frac{\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}}{x+3} = \frac{5}{4} => \frac{(x+1)^2+(y+1)^2}{(x+3)^2} = \frac{25}{16} => 16(x+1)^2+16(y+1)^2 = 25(x+3)^2 => 16x^2+32x+16+16(y+1)^2 = 25x^2+150x+225 => 16(y+1)^2 = 9x^2+118x+209 => выделим полный квадрат по переменной x, получаем 9x^2+118x+209 = 9x^2+2*3*\frac{59}{3}x+(\frac{59}{3})^2-(\frac{59}{3})^2+209 => = (3x+\frac{59}{3})^2-(\frac{59}{3})^2+209 = 9(x+\frac{59}{9})^2-\frac{1600}{9}, подставляем 16(y+1)^2 = 9(x+ \frac{59}{9})^2- \frac{1600}{9} => 9(x+\frac{59}{9})^2 - 16(y+1)^2 = \frac{1600}{9} => разделим обе части уравнения на число \frac{1600}{9} 9(x+ \frac{59}{9})^2* \frac{9}{1600} - 16(y+1)^2* \frac{9}{1600} = 1 => (x+\frac{59}{9})^2*\frac{81}{1600} - (y+1)^2*\frac{9}{100} = 1 Получили уравнение гиперболы, приведем его к каноническому виду \frac{(x+\frac{59}{9})^2}{(\frac{40}{9})^2} - \frac{(y+1)^2}{(\frac{10}{3})^2} = 1
Строим полученную гиперболу.
Ответ: уравнение искомой кривой - гипербола \frac{(x+\frac{59}{9})^2}{(\frac{40}{9})^2} - \frac{(y+1)^2}{(\frac{10}{3})^2} = 1
