Решение:
данную задачу можно решить двумя способами.
Составим уравнение кривой в канонической форме.
Проведем преобразования методом выделения полного квадрата:
$$ x^2+y^2+14x-8y+40 = 0 => $$$$ x^2+2*7x+49-49+y^2-2*4y+16-16+40 = 0 =>$$$$ (x+7)^2 -49 + (y-4)^2-16+40 = 0 => $$$$ (x+7)^2 + (y-4)^2 = 25 $$ Получили уравнение окружности с центром в точке (-7;4) и радиусом 5.
Чтобы найти угол между касательными к заданной кривой, найдем координаты точек касания. Точки касания, согласно условия, это точки пересечения кривой с осью Ox. Находим их при y = 0. $$ (x+7)^2 + (y-4)^2 = 25 => x_1=-10; x_2=-4$$ Получили две точки касания (-10;0), (-4;0). Найдем уравнения касательных, применим формулу уравнения касательной в точке $$y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
Значение \(f(x_0) = 0\) для обеих касательных, согласно условия.
Найдем первую производную \(f'(x)\) $$( x^2+y^2+14x-8y+40 )'=0 => 2x+2yy'+14 -8y' = 0 =>$$$$ y' = \frac{2x+14}{8-2y} $$
Находим значение производной в заданных точках, учитываем, что в этих точках \(f(x_0) = 0\).
точка (-10;0): \( y'(-10) = \frac{2(-10)+14}{8-2*0} = -\frac{3}{4}\)
точка (-4;0): \( y'(-4) = \frac{2(-4)+14}{8-2*0} = \frac{3}{4}\)
Получили два уравнения касательных
точка (-10;0): \(y = 0 - \frac{3}{4}(x+10) => y = -\frac{3}{4}x - \frac{15}{2}\)
точка (-4;0): \(y = 0 + \frac{3}{4}(x+4) => y = \frac{3}{4}x + 3\)
Известны два угловых коэффициента прямых \(k_1 = -\frac{3}{4}; \quad k_2 = \frac{3}{4}\)
Угол между касательными будем искать по формуле $$ tg \beta = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}| $$ подставляем значения угловых коэффициентов $$tg \beta = | \frac{ \frac{3}{4}+ \frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}\frac{3}{4} }| = \frac{24}{7} => \beta \approx 74^0$$
Ответ: угол между касательными равен \(\beta \approx 74^0\)
