При решении подобного типа примеров необходимо обратить внимание на следующее. Если взять производную \(x\) в знаменателе \((x^2)=2x\) она будет равна степени \(x\) в числителе.Это указывает на то, что можно применить метод замены переменной, но необходимо обратить внимание на наличие корня в знаменателе. При замене учтем иррациональность в знаменателе
Приступим: введем замену \(2x^2+2=u^2 =>2xdx = 2udu => xdx = udu\) т.е. введя замену \(u^2\) мы избавились от иррациональности в знаменателе. Теперь подставим в интегральное выражение
$$\int \frac{3x}{\sqrt{2+x^2}}dx = \int \frac{3udu}{\sqrt{u^2}} =$$$$= 3*\int \frac{udu}{u} = 3*\int du=$$получили табличный интеграл \(\int dx = x +C\) $$= 3*\int du = 3u +C=$$применим обратную замену $$= 3*\sqrt{2+x^2} +C$$Ответ: \(\int \frac{3x}{\sqrt{2+x^2}}dx = 3*\sqrt{2+x^2} +C\)
