Функції пропозиції та попиту відповідно: \(y=\frac{x^2+72}{6x-18}\) \(y=\frac{4x + 484}{x^2 - 11}\)

Решение: даны функции предложения \(y = \frac{x^2+72}{6x-18}\) и спроса \(y = \frac{4x+484}{x^2-11}\)
1. Найдем целое значение цены единицы продукции, при которой предложение и спрос уравновешиваются:
Цена (\(x\)) при которой предложение и спрос уравновешиваются - точка пересечения кривых предложения и спроса. Для находжения (\(x\)) цены единицы продукции решим уравнение $$ \frac{x^2+72}{6x-18} =  \frac{4x+484}{x^2-11} => (x^2+72)*(x^2-11) = (6x-18)*(4x+484) => $$ из ОДЗ дробей следует, что \(6x-18 \ne 0 => x \ne 3\) и \(x^2-11 \ne 0 => x \ne \pm \sqrt{11}\) $$ x^4 -11x^2+72x^2 - 792=  24x^2 + 6*484x - 18*4x - 18*484 => $$$$ x^4 +61x^2 - 792= 24x^2 + 2832x - 8712 => $$$$ x^4 +37x^2  -2832x +7920 = 0$$ Получили многочлен четвертой степени с целыми коэффициентами, согласно условия, этот многочлен имеет целый корень. 

Применим теорему: Если все коэффициенты многочлена: \(f(x)=a_0x_n+a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+...+a_{n-2}x_2+a_{n-1}x+a_n\) являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена \(a_n\) 

В полученном многочлене свободный член \(a_4 = 7920\). Делителями свободного члена являются числа \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 5; \pm 6; \pm 8; \pm 10; \pm 12; \pm 15 ....\) Из ОДЗ следует, что целым корнем многочлена не может быть число \(x \ne 3\).
Подставляем поочередно числа в многочлен и находим целый корень
\(x=1: \quad \quad 1^4 +37*1^2  -2832*1 +7920 = 5126 \ne 0\)  - не корень
\(x=-1: \quad \quad (-1)^4 +37*(-1)^2  -2832*(-1) +7920 = 10790 \ne 0\)  - не корень 
\(x= 2: \quad \quad 2^4 +37*2^2  -2832*2 +7920 = 2420 \ne 0\)  - не корень  
*  *   *   *   *   
\(x= 12: \quad \quad 12^4 +37*12^2  -2832*12 +7920 = 0\)  - корень 

Ответ: целое значение цены единицы продукции, при которой предложение и спрос уравновешиваются \(x = 12\) 

Исследуем график функции спроса  \( y = \frac{4x + 484}{x^2-11} \) и построим его график.
1. Область определения.
Областью определения функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2-11 \ne  0 => x \ne \pm \sqrt{11} \).  ОДЗ $$D_f=(-\infty; -\sqrt{11}) \cup ( -\sqrt{11}; \sqrt{11}) \cup ( \sqrt{11} ;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва  \( x= -\sqrt{11} \) и \( x= \sqrt{11} \)
исследуем точку \( x= -\sqrt{11} \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -\sqrt{11}^{+0}} \frac{4x + 484}{x^2-11} = - \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -\sqrt{11}^{-0}} \frac{4x + 484}{x^2-11} =  + \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\). 
исследуем точку \( x= \sqrt{11} \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to \sqrt{11}^{+0}} \frac{4x + 484}{x^2-11} =  +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to \sqrt{11}^{-0}} \frac{4x + 484}{x^2-11} =  - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).  

Прямые \(x = -\sqrt{11} \) и \(x = \sqrt{11} \) является вертикальной асимптотой.

3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =  \frac{4(-x) + 484}{(-x)^2-11} \)  функция является ни четной,  ни не четной.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{4x + 484}{x^2-11} =  0 => x = -121\).  Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатой (-121;0).

Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет точку пересечения с осью Ox, поэтому с интервалами ОДЗ получаем четыре интервала знакопостоянства.
интервал \((-\infty; -121) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-150) =  \frac{4x + 484}{x^2-11}    <  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((-121; -\sqrt{11}) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-10) =  \frac{4x + 484}{x^2-11}   >  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((-\sqrt{11}; \sqrt{11}) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) =  \frac{4x + 484}{x^2-11}   <  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((\sqrt{11}; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(10) =  \frac{4x + 484}{x^2-11} >  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox

5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) =  \frac{4x + 484}{x^2-11}  = -44\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами \((0; -44)\).

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{4x + 484}{x^2-11})'= -4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2}$$ приравняем к 0 $$-4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2}=0 => x^2 + 242x+11 = 0 =>$$$$ x_1=-121-\sqrt{14630} \approx -241.95; x_2=-121+\sqrt{14630} \approx -0.045$$ функция имеет две критические (стационарные) точки. 

Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки, которые делят вместе с областью определения ось Оx на пять интервалов монотонности.
интервал \((-\infty; -121-\sqrt{14630})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-300) = -4\frac{(x+241.95)(x+0.045)}{(x^2-11)^2} < 0 \), на этом интервале функция убывает.
интервал \((-121-\sqrt{14630}; -\sqrt{11})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-100) = -4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2}  >  0 \), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-\sqrt{11}; -121+\sqrt{14630})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2}   >  0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-121+\sqrt{14630}; \sqrt{11})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2}  <  0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((\sqrt{11}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(10) = -4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2} <  0\), на этом интервале функция убывает.

Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = -121-\sqrt{14630} \): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами  \((-121-\sqrt{14630}; -0.008)\)
\(x = -121+\sqrt{14630}\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами  \((-121+\sqrt{14630}; -43.99)\) 

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-4\frac{x^2 + 242x+11}{(x^2-11)^2})'= 8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3} = 0 => x \approx -362.92$$
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба.
интервал \((-\infty; -362.92)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-400) =  8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3}  < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-362.92; -\sqrt{11})\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-4) =  8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3}  > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((-\sqrt{11}; \sqrt{11})\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(0) =  8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((  \sqrt{11};  + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = 8\frac{x^3 + 363x^2+33x+1331}{(x^2-11)^3}  > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Точки перегиба.
Достаточным условием существования точки перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку. 
\(x \approx -362.92\): \(\quad - \quad 0 \quad +\) - точка перегиба 

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. График функции имеет две вертикальные асимптоты \(x = -\sqrt{11}\) и \(x = \sqrt{11}\) (см. п.2).

Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = \frac{4x + 484}{x^2-11} \)  при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{4x + 484}{x(x^2-11)} = 0 => k = 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. угловой коэффициент равен 0, наклонной асимптоты нет.

Наклонной асимптоты нет

Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to +\infty}  \frac{4x + 484}{x^2-11} = +0 $$
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+72}{6x-18} = -0 $$
Горизонтальной асимптоты \(y=0\).
при этом при \(x \to +\infty\) - график приближается к асимптоте сверху 
при этом при \(x \to -\infty\) - график приближается к асимптоте снизу

9. График функции.

Участки графика функции в масштабе

Исследуем график функции предложения  \( y = \frac{x^2+72}{6x-18} \) и построим его график.
1. Область определения.
Областью определения функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(6x-18 \ne  0 => x \ne 3 \).  ОДЗ $$D_f=(-\infty; 3) \cup ( 3 ;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва  \( x= 3 \)
исследуем точку \( x= 3 \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 3^{+0}} \frac{x^2+72}{6x-18} = + \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 3^{-0}} \frac{x^2+72}{6x-18} = - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 3 \) является вертикальной асимптотой.

3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =   \frac{(-x)^2+72}{6(-x)-18} \)  функция является ни четной,  ни не четной.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \(  \frac{x^2+72}{6x-18} =  0 => \).  Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox, поэтому определим знак функции на области определения.
интервал \((-\infty; 3) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) =  \frac{x^2+72}{6x-18}    <  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((3; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(5) = \frac{x^2+72}{6x-18}   >  0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox

5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) =  \frac{x^2+72}{6x-18}  = \frac{0^2+72}{6*0-18} = - 4\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами \((0; -4 )\).

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x^2+72}{6x-18})'= \frac{x^2 - 6x-72}{6(x-3)^2}$$ приравняем к 0 $$\frac{x^2 - 6x-72}{6(x-3)^2}=0 => x^2 - 6x-72 = 0 => x_1=-6;x_2=12$$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки, которая делит вместе с областью определения ось Оx на четыре интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -6)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-10) = \frac{(x-12)(x+6)}{6(x-3)^2}  >  0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-6; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = \frac{(x-12)(x+6)}{6(x-3)^2}   <  0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((3; 12)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(10) = \frac{(x-12)(x+6)}{6(x-3)^2}   <  0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 12; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(15) = \frac{(x-12)(x+6)}{6(x-3)^2} >  0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = -6\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами  \((-6; -2)\)
\(x = 12\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами  \((12; 4)\) 

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{x^2 - 6x-72}{6(x-3)^2})'= \frac{27}{(x-3)^3}$$ Приравняем к нулю $$ \frac{27}{(x-3)^3} = 0 => $$ при всех \(x\) производная не равна 0,т.е. нет точек перегиба.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ.
интервал \((-\infty; 3)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(0) =  \frac{27}{(x-3)^3}  < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 3;  + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = \frac{27}{(x-3)^3}  > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которых вторая производная равна нулю  - точки возможного перегиба, т.е нет точек перегиба.

8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту \(x =  3\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = \frac{x^2+72}{6x-18} \)  при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+72}{x(6x-18)} = \frac{1}{6} => k = \frac{1}{6}$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ получим $$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{x^2+72}{6x-18} - \frac{1}{6}x)  = \lim_{x \to +\infty}\frac{6(x^2+72)-x(6x-18)}{6(6x-18)} = \frac{1}{2}$$

Уравнение наклонной асимптоты \(y = \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\)

Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+72}{6x-18} = +\infty $$
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+72}{6x-18} = -\infty $$
Горизонтальной асимптоты нет.

9. График функции.

2. Определим эластичность предложения и спроса в точке \(x=12\)

Эластичность в точке (точечная эластичность) — используется в том случае, когда задана функция спроса (предложения) и исходный уровень цены и величины спроса (или предложения). Данная формула характеризует относительное изменение объема спроса (или предложения) при бесконечно малом изменении цены (или какого-либо другого параметра)
Находится эластичность в точке по формуле $$E = Q'(x)\frac{x}{Q(x)} \quad (1)$$ где 
\(Q'(x)\) - производная от функции предложения (спроса)
\(x\) - рыночная цена
\(Q(x)\) - функция предложения (спроса) при рыночной цене.

Оценим эластичность предложения при цене \(x=12\) 
Найдем недостающие параметры формулы (1)
\(x=12\) - рыночная цена в заданной точке
\(Q(x) = \frac{x^2+72}{6x-18}  => Q(12) = \frac{12^2+72}{6*12-18}= 4 \) - значение функции предложения при заданной рыночной цене.
\(Q'(x) = (\frac{x^2+72}{6x-18})' = \frac{2x(6x-18) - 6(x^2+72)}{(6x-18)^2} = \frac{x^2-6x-72}{6(x-3)^2} \) => \(Q'(12) = \frac{12^2-6*12-72}{6(12-3)^2} = 0\) - значение функции предложения при заданной рыночной цене. 

Подставляем в формулу (1) $$E_{предл}(12) = Q'(12)\frac{12}{Q(12)} = 0\frac{12}{4} = 0 $$
Ответ: Экономический смысл полученного значения заключается в том, что изменение цены на 1% относительно первоначальной цены x = 12 приведет к изменению величины предложения на 0%. Получили \(E = 0\), или абсолютная неэластичность, когда изменение какого-либо параметра рыночной конъюнктуры не влияет на величину рассматриваемого фактора (изменение цены не влияет на предложение, график кривой в окрестности этой точки параллелен оси цены - x).

Оценим эластичность спроса при цене \(x=12\) 
Найдем недостающие параметры формулы (1)
\(x=12\) - рыночная цена в заданной точке
\(Q(x) = \frac{4x+484}{x^2-11}  => Q(12) = \frac{4*12+484}{12^2-11}= 4 \) - значение функции спраса при заданной рыночной цене.
\(Q'(x) = (\frac{4x+484}{x^2-11})' = \frac{4(x^2-11) - 2x(4x+484)}{(x^2-11)^2} = \frac{-4x^2-968x-44}{(x^2-11)^2} \) => \(Q'(12) = \frac{-4x^2-968x-44}{(x^2-11)^2} \approx -0,69\) - значение функции спроса при заданной рыночной цене. 

Подставляем в формулу (1) $$E_{спрос}(12) = Q'(12)\frac{12}{Q(12)} = (-0,69)\frac{12}{4} = -2.07 $$

Ответ: Экономический смысл полученного значения заключается в том, что изменение цены на 1% относительно первоначальной цены x = 12 приведет к изменению величины спроса на -2.07%. \(|E| > 1\), или эластичный спрос, когда параметр растет более высокими темпами, чем изменяется другой фактор.