При решении подобного типа примеров необходимо обратить внимание на следующее. Если взять производную \(x\) в знаменателе \((x^3)'=3x^2\) она будет равна степени \(x\) в числителе. Это указывает на то, что можно применить метод замены переменной. Приступим: введем замену \(17x^3+3=u =>17*3*x^2dx = du => x^2dx = \frac{du}{17*3}\) теперь подставим в интегральное выражение
$$\int \frac{5x^2}{17x^3+3}dx = \int \frac{5}{17*3u}du = \frac{5}{17*3} \int \frac{1}{u}du = $$получили табличный интеграл \(\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| +C\) $$= \frac{5}{17*3} \int \frac{1}{u}du = \frac{5}{17*3} \ln|u| +C = $$применим обратную замену $$= \frac{5}{51} \ln|17x^3+3| +C$$Ответ: \(\int \frac{5x^2}{17x^3+3}dx = \frac{5}{51} \ln|17x^3+3| +C\)
