Задание: найди предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(x)}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(x)} = \frac{e^{2*0}-1}{\sin(0)}= \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которую мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x}-1)'}{(\sin(x))'}$$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{\cos(x)} = \frac{2}{1} = 2$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(x)} =2\)
