Найдем производную параметрически заданной функции \( \begin{cases}x= \arccos(\sqrt{t}) \\ y= \sqrt{t^2-1}\end{cases} \)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{(\sqrt{t^2-1})'}{(\arccos\sqrt{t})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
\((\sqrt{t^2-1})'\) применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\), производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\), получаем $$(\sqrt{t^2-1})' = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}(t^2-1)' = \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}$$
3. Производная знаменателя:
\(( \arccos\sqrt{t})'\) применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\), обратной тригонометрической функции \(\arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) и производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\) $$( \arccos(\sqrt{t}))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{t})^2}}(\sqrt{t})' = $$$$ = -\frac{1}{2\sqrt{t}\sqrt{1-t}}$$
4. Подставляем результаты пунктов (2) и (3) в (1)
$$y'(x)= \frac{(\sqrt{t^2-1})'}{(\arccos\sqrt{t})'} = \frac{\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}}{-\frac{1}{2\sqrt{t}\sqrt{1-t}}} =$$$$ = - \frac{2t \sqrt{(1-t)t}}{\sqrt{t^2-1}} $$
Ответ: \( y'_x = - \frac{2t \sqrt{(1-t)t}}{\sqrt{t^2-1}} \)
