Найти косинус угла, образованного прямыми: \( \begin{cases} x-y + z-4 = 0 \\ 2x + y-2z + 5 = 0 \end{cases} \) и \( \begin{cases} x + y + z-4 = 0 \\ 2x + 3y-z-6 = 0 \end{cases} \)
Решение :
Рассмотрим две прямые линии, уравнения которых заданы в канонической форме: $$ \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y- y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1} \quad (1) $$$$ \frac{x-x_2} {m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2} $$
Углом между двумя прямыми будет угол между направляющими векторами этих прямых \(s_1 = (m_1; n_1; p_1) \) и \(s_2 = (m_2; n_2; p_2) \)
Тогда угол между двумя прямыми будем искать по формуле $$ \cos(\phi) = \pm\frac{s_1s_2}{| s_1 || s_2 |} $$ или $$ \cos(\phi) = \pm\frac{m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2} {\sqrt {m_1 ^ 2 + n_1 ^ 2 + p_1 ^ 2} \sqrt{m_2 ^ 2 + n_2 ^ 2 + p_2 ^ 2}} \quad (2) $$ Знак "+" или "-" выбирается в зависимости от того , который из двух углов между прямыми линиями рассматривается: острый или тупой соответственно.
1. Рассмотрим уравнение прямой \( \begin{cases} x-y + z-4 = 0 \\ 2x + y-2z + 5 = 0 \end{cases} \).
Если прямая задана с помощью системы уравнений двух плоскостей, для которых эта прямая является их линией пересечения: $$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $$ где \(\vec{N_1} = (A_1; B_1; C_1) \) и \(\ vec {N_2} = (A_2; B_2; C_2) \) вектора нормали каждой из данных плоскостей , тогда направляющим вектором данной прямой линии будет вектор \( \vec {s} = \vec {N_1} \times \vec {N_2} \)
Система уравнений называется общим уравнением прямой линии в координатной форме.
Найдем; уравнение прямой линии в канонической форме (1), это также уравнение прямой, проходящей через заданную точку, в заданном направлении
где \(x_1; y_1; z_1 \) - координаты точки, принадлежащей прямой
где \(\vec {s} = (m; n; p) \) - направляющий вектор прямой линии.
Для решения задачи, нам достаточно будет найти направляющие вектора.
Ищем направляющий вектор прямой линии.
Из уравнений площадей найдем вектора нормали каждой из данных плоскостей \(\vec {N_1} = (1, -1, 1 ) \) и \( \vec{N_2} =(2, 1, -2) \).
Тогда направляющим вектором данной прямой линии будет $$ \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = $$$$ \tiny = (-1)^{1+1}i((-1)*(-2) - 1*1) + (- 1)^{1+2} j (1*(-2) -2 *1) + (-1)^{1 + 3} k (1*1+2*1) = $$$$ = i+4j+3k $$ Получили направляющий вектор \(\vec{ s} = (1; 4; 3) \)
Ответ: направляющий вектор прямой линии \(s_1 = (1; 4; 3) \)
2. Рассмотрим уравнение прямой \( \begin{cases} x + y + z-4 = 0 \\ 2x + 3y-z-6 = 0 \end{cases} \).
Ищем направляющий вектор прямой линии.
Из уравнений площадей найдем вектора нормали каждой из данных плоскостей \(\vec {N_1} = (1, 1, 1 ) \) и \( \vec{N_2} =(2, 3, -1) \).
Тогда направляющим вектором данной прямой линии будет $$ \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = $$$$ \tiny = (-1)^{1+1}i(1(-1) - 3*1) + (- 1)^{1+2} j (1*(-1) -2 *1) + (-1)^{1 + 3} k (1*3-2*1) = $$$$ = -4i+3j+k $$ Получили направляющий вектор \(\vec{ s} = (-4; 3; 1) \)
Ответ: направляющий вектор прямой линии \(s_2 = (-4; 3; 1) \)
3. Косинус угла между двумя прямыми линиями:
угол между направляющими векторами \( s_1 = (1; 4; 3) \) и \( s_2 = (-4; 3; 1) \)
поставляет координаты векторов в (2) $$ \cos(\phi) = \pm \frac{1 *(-4) + 4*3 + 3*1} {\sqrt{1^2 + 4^2 +3^2} \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 1^2}} = \pm \frac{11}{26} => \phi \approx 65^0 $$
Ответ: угла между двумя прямыми линиями \( \phi \approx 65^0 \)
