Задание: найти предел: $$ \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x^2-8x+15}$$
Решение:
Найдем предел $$\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x^2-8x+15} = \frac{3-3}{3^2-8*3+15} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которой мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x^2-8x+15} = \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)'}{(x^2-8x+15)'} = $$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to 3}\frac{1}{2x-8} = \frac{1}{2*3-8} = -\frac{1}{2}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x^2-8x+15} = -\frac{1}{2}\)
