Задание: найти предел: $$ \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{2x-1}- \sqrt{5}}{x-3}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{2x-1}- \sqrt{5}}{x-3} = \frac{ \sqrt{2*3-1}- \sqrt{5}}{3-3} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которой мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{2x-1}- \sqrt{5}}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{ (\sqrt{2x-1}- \sqrt{5})'}{(x-3)'} = $$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to 3} \frac{ \frac{2}{2\sqrt{2x-1}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2*3-1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{2x-1}- \sqrt{5}}{x-3} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
